Dubbio archi associati

Ciao! Vediamola step by step:
- $\cos(-\alpha)$ $\to$ $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.
- $\sin(\frac{5}{2}\pi + \alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$.
Per quanto riguarda $sin\left( \frac{5π}{2} - α \right)$, il tuo ragionamento è corretto: $\frac{5π}{2} = 2π + \frac{π}{2}$
- $\sin(\frac{7}{2}\pi - \alpha) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha)$.
Invece, per $\sin(\frac{7}{2}\pi - \alpha)$, il tuo ragionamento non è completamente corretto. Vediamo perché:

$\frac{7π}{2} = 3π + \frac{π}{2}$

Quando lavoriamo con il seno, dobbiamo ricordare che ha un periodo di $2π$, ma dobbiamo anche considerare cosa succede quando aggiungiamo $π$. Quindi:
$sin\left( \frac{7π}{2} - α \right) = sin\left( 3π + \frac{π}{2} - α \right) = sin\left( \frac{π}{2} - α + 3π \right)$

Poiché $3π = 2π + π: sin\left( \frac{π}{2} - α + 3π \right) = sin\left( \frac{π}{2} - α + π \right)$
E sappiamo che $sin(θ + π) = -sin(θ)$, quindi: $sin\left( \frac{π}{2} - α + π \right) = -sin\left( \frac{π}{2} - α \right) = -cos(α)$

Quindi $sin\left( \frac{7π}{2} - α \right) ≠ sin\left( π\frac{/2}{2} - α \right)$, ma $sin\left( \frac{7π}{2} - α \right) = -cos(α)$

- $\cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan(\alpha)$.
- $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\alpha)$.
- $\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)$.

Quindi ora abbiamo:
$\begin{aligned}
&\cos(-\alpha) \sin(\frac{5}{2}\pi + \alpha) + \sin(\frac{7}{2}\pi - \alpha) \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) \tan(\pi - \alpha) \\
&= \cos(\alpha) \cos(\alpha) + (-\cos(\alpha))(-\tan(\alpha)) + \cos(\alpha)(-\tan(\alpha)) \\
&= \cos^2(\alpha) + \cos(\alpha)\tan(\alpha) - \cos(\alpha)\tan(\alpha) \\
&= \cos^2(\alpha)
\end{aligned}$

sin (7/2 pi - a) =

= sin ( - pi/2 - a ) =

= - sin (pi/2 + a) =

= - sin [ pi - (pi/2 + a) ] =

= - sin (pi/2 - a) = - cos a

Verifica con le formule di sottrazione

se le hai studiate

sin (7/2 pi - a) =

= sin (7/2 pi) cos a - cos (7/2) pi sin a =

= - 1 * cos a + 0 = - cos a.

Svolgimento dell'esercizio, solo con gli archi associati

cos(-a) = cos a archi opposti

sin (5/2 pi + a ) = sin (5/2 pi - 2pi + a) = sin (pi/2 + a) =

= sin [pi - (pi/2 + a) ] = sin (pi/2 - a) = cos a

cotg (pi/2 + a) = tg [ pi/2 - (pi/2 + a) ] = tg (-a) = - tg a

tg (pi - a) = sin (pi - a)/cos (pi - a) = sin a/(- cos a) =

= - tg a

Sostituendo si trova infine

cos a * cos a + ( - cos a) * (- sin a/cos a) + cos a * (-sin a/cos a) =

= cos^2(a) + sin a - cos a = cos^2(a)

Ciao! Guarda per valutare rapidamente funzioni come sin(11π/2 + α) puoi usare questo metodo:

1. Scrivi l'angolo nella forma $\frac{nπ}{2} + α$ dove $n$ è un intero
2. Dividi $n$ per $4$ e considera solo il resto
3. In base al resto, applica una delle seguenti regole:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Resto} & \text{Forma dell'angolo} & \text{Valore del seno} \\ \hline 0 & \frac{4k\pi}{2} + \alpha = 2k\pi + \alpha & \sin(\alpha) \\ \hline 1 & \frac{(4k+1)\pi}{2} + \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha & \cos(\alpha) \\ \hline 2 & \frac{(4k+2)\pi}{2} + \alpha = 2k\pi + \pi + \alpha & -\sin(\alpha) \\ \hline 3 & \frac{(4k+3)\pi}{2} + \alpha = 2k\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha & -\cos(\alpha) \\ \hline \end{array}$

Ad esempio per $sin\left( \frac{11π}{2} + α \right)$:
- $n = 11$
- $11 ÷ 4 = 2$ con resto $3$
- Quindi $sin\left( \frac{11π}{2} + α \right) = sin\left( \frac{3π}{2} + α \right) = -cos(α)$

Un altro esempio con $sin(7π/2)$
- $n = 7$
- $7 ÷ 4 = 1$ con resto $3$
- Quindi $sin\left( \frac{7π}{2} \right) = sin\left( \frac{3π}{2} \right) = -1$

Questa tecnica funziona perché stiamo essenzialmente riducendo l'angolo alla sua posizione equivalente nel primo giro completo della circonferenza goniometrica (cioè nell'intervallo [0, 2π]), e poi applicando le proprietà delle funzioni trigonometriche nei quattro quadranti. per questo è praticamente infallibile, si basa direttamente sulle proprietà fondamentali delle funzioni trigonometriche:
1. La periodicità: $sin(x + 2π) = sin(x)$
2. Le simmetrie nei vari quadranti:
- $sin\left( \frac{π}{2} + x \right) = cos(x)$
- $sin(π + x) = -sin(x)$
- $sin\left( \frac{3π}{2} + x \right) = -cos(x)$
Queste proprietà sono teoremi matematici dimostrati e non hanno eccezioni 🙂