Doppia implicazione significato

Significa che A implica A' E A' implica A

Non affronto Logica da molti anni e l'ultima volta è stata al biennio delle superiori, ma posso dirti che la doppia implicazione non è legata al concetto di equivalenza a meno di forzature.

Ad esempio, perdonami Wittgenstein ma è per fini puramente didattici, ragionando con la lingua italiana in un caso idealizzato:

detta A la proposizione "Tra pochi secondi parte il treno" e detta B la proposizione "devo salire sul treno", si ha che è possibile dire logicamente sia $A \rightarrow B$, tra pochi secondi parte il treno (dunque) devo salire sul treno, sia $B \rightarrow A$, devo salire sul treno (dato che) tra pochi secondi parte il treno. Ossia in linguaggio logico si ha che $A \leftrightarrow B$. 

Ritornando alla domanda inizialmente posta, nel linguaggio, non puoi dire che A=B a meno che B non sia uguale ad A, quindi se venisse preso in considerazione l'esempio fornito e se la doppia implicazione logica corrispondesse sempre all'uguaglianza si avrebbe che la proposizione A risulterebbe la stessa offerta da B e ciò è falso dato che sono due eventi diversi ma legati tra loro, almeno nel contesto ideale preso in considerazione, sarebbe come dire causa=effetto, per discorsi più approfonditi sulla logica e la questione causa-effetto ti rimando ai testi di Aristotele, Whitehead, Russell, Wittgenstein, Frege, Hegel, Kant e Hume dato che questo è un dibattito molto più profondo ed articolato che necessita più approfondimento da parte mia.

Un esempio dove il concetto di doppia implicazione è importante per evitare errori può esser rintracciato in analisi matematica con il rapporto tra derivabilità e continuità: se una funzione è derivabile(A) è continua (B), mentre se è continua(B) non è per forza derivabile(A).

Dunque $A \rightarrow B$ è vera mentre $B \rightarrow A$ è falsa dato che la continuità non implica la derivabilità, si ha dunque che questa frase presenta una singola implicazione.