Dominio Logaritmi

I logaritmi sono definiti solo per argomenti positivi, mentre il radicando può essere positivo o nullo.

1. $log_2 x \; ⇒ \; x > 0$
2. $\sqrt{x+log_2 x} \; ⇒ \; x+log_2 x \ge 0$

Sviluppiamo quest'ultima disequazione

$ x + \frac{ln(x)}{ln 2} \ge 0 $

$ x\cdot ln 2 + ln x \ge 0 $      ln 2 è un numero positivo

Disequazione trascendente la cui soluzione non è elementare.

Introduco la funzione 

$ ψ(x) = x\cdot ln 2 + ln x $

Essa è:

• Continua. (somma di funzioni elementari continue)
• Strettamente crescente. (somma di due funzioni strettamente crescenti)
• ψ(1) = ln 2;  Valore positivo
• ψ(1/e) = ln(2)/e - 1;   Valore negativo

Applicando il teorema degli zeri di Bolzano possiamo affermare che esiste un valore α∈(1/e, 1) dove ψ(α) = 0.

Inoltre, vista la monotonia ψ(x) ≥ 0; ∀x ≥ α

Il tutto equivale a dire che $x+log_2 x \ge 0; ∀x ≥ α, \; \text{con} \; α∈(1/e, 1)$

Conclusione.

Dominio = x ≥ α; con α∈(1/e, 1)

nota. Abbiamo trovato una stima dell'intervallo dove si trova α ancora più ristretta ma altrettanto valida.

Questo esercizio è interessante poiché mostra che a volte per rispondere ad una disequazione occorre introdurre e studiare una funzione.