[Risolto] Dominio di una funzione numero 213

Problema:

Si determini il dominio della seguente funzione:

$y=\sqrt{\arcsin \ln (x-1)}$

Soluzione:

Poiché la funzione è composta da una radice di indice pari, è necessario porre l'argomento della radice maggiore od uguale a zero:

$\arcsin \ln (x-1)≥0$

Poiché la funzione arcoseno accetta valori reali dell'intervallo chiuso [-1,1], è necessario aggiungere al sistema l'argomento dell'arcoseno in modulo minore od uguale ad uno:

{$(\arcsin \ln (x-1)≥0), (|\ln (x-1)|≤1)$}

Poiché la funzione logaritmo accetta valori reali strettamente maggiori di zero, è necessario aggiungere al sistema l'argomento del logaritmo maggiore di zero:

{$(\arcsin \ln (x-1)≥0), (|\ln (x-1)|≤1), (x-1>0)$}

Risolvendo la prima disequazione si ottiene:

$\arcsin \ln (x-1)≥0$

$ \ln (x-1)≥ \sin 0°$

$\ln (x-1)≥0$

$x-1≥1$

$x≥2$ (*)

Risolvendo la seconda disequazione si ottiene:

$|\ln (x-1)|≤1$

$\frac{1}{e}+1≤x≤e+1$ (**)

Risolvendo la terza equazione si ottiene:

$x-1>0$

$x>1$ (***)

Ponendo a sistema (*), (**) e (***) si ottiene dunque:

$2≤x≤e+1$

Ossia $D=[2,e+1] \subset \mathbb{R}$