Buonasera allego traccia e parziale esercizio sviluppato. Perché ad un certo punto non riesco ad andare avanti. Se potreste aiutarmi.
1. Sia $$ f(x, y)=\sqrt{\frac{\ln \left(x^2+y^2-1\right)}{4-x^2-y^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}-\arctan \left(x^2+y^2-1\right)}} $$ determinare il dominio di $f$ e stabilire se si tratta di un insieme aperto, chiuso, connesso e limitato.
L'impostazione del sistema è corretta, così come la risoluzione di (*) e (**).
Per quanto riguarda la risoluzione della (***):
$\frac{\pi}{2} - arctg(x^2+y^2-1) > 0 $
$ arctg(x^2+y^2-1) < \frac{\pi}{2}$
Per risolvere ricorda il grafico dell'arcotangente:
Come vedi l'arcotangente assume sempre valori strettamente minori di $\pi/2$, quindi la disequazione è soddisfatta $\forall (x,y) \in R^2$.
Complessivamente abbiamo quindi queste tre soluzioni, da mettere a sistema:
(*): esterno aperto di $C_{(0,0)}(1)$
(**): La parte compresa tra $C_{(0,0)}(\sqrt{2})$ (incluso) e $C_{(0,0)}(2)$ (escluso)
(***): Tutto $R^2$
Dunque nel mettere a sistema ci rimane la soluzione data da (**).
Il dominio pertanto è un insieme chiuso, in quanto ha come frontiera i punti di $x^2+y^2 = 2$, è limitato in quanto ha una misura finita. Infine lo spazio è connesso ("è formato da un solo pezzo").
@n_f grazie mille Noemi. Mamma miaaaaa che errore di stupidità che ho fatto. Oddiooooo. Ok. Grazie mille. Come sempre puntuale e precisa e dettagliata nella spiegazione.
@exprof Ed io gentilissimo professore, la ringrazio per la sua preparazione e ben venga l'essere logorroico. A me non fa altro che farmi apprezzare di più la disciplina e acquisire conoscenze e competenze. L'errore è dovuto alla velocità con cui ho scritto e non ho controllato prima di inviare. Comunque grazie mille per le informazioni preziose.