[Risolto] Dominio di funzioni a due variabili

Ciao @sergix

L'impostazione del sistema è corretta, così come la risoluzione di (*) e (**).

Per quanto riguarda la risoluzione della (***):

$\frac{\pi}{2} - arctg(x^2+y^2-1) > 0 $

$ arctg(x^2+y^2-1) < \frac{\pi}{2}$

Per risolvere ricorda il grafico dell'arcotangente:

Come vedi l'arcotangente assume sempre valori strettamente minori di $\pi/2$, quindi la disequazione è soddisfatta $\forall (x,y) \in R^2$.

Complessivamente abbiamo quindi queste tre soluzioni, da mettere a sistema:

(*): esterno aperto di $C_{(0,0)}(1)$

(**): La parte compresa tra $C_{(0,0)}(\sqrt{2})$ (incluso) e $C_{(0,0)}(2)$ (escluso)

(***): Tutto $R^2$

Dunque nel mettere a sistema ci rimane la soluzione data da (**).

Il dominio pertanto è un insieme chiuso, in quanto ha come frontiera i punti di $x^2+y^2 = 2$, è limitato in quanto ha una misura finita. Infine lo spazio è connesso ("è formato da un solo pezzo").

Ciao!!

Noemi

Ho DOVEROSAMENTE clickato un cuoricino @n_f Noemi: concisa e precisa.
Io però sono impiccione e logorroico, così ti fornisco un po' di precisazioni soprattutto sul linguaggio che, in questi ambiti, dovrebb'essere esatto.
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Il dominio D di una funzione è, per definizione, il prodotto cartesiano fra quelli dei suoi argomenti
* D[f(x, y)] = D[x] × D[y]
Se e solo se tutti gli argomenti sono numerici il domain d è quello che sui testi italiani si chiamava "insieme di realtà" o "insieme di definizione reale"
* d[f(x, y)] = {(x, y) | f ∈ R}
luogo dei vettori argomento tali che la funzione assuma valore reale.
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Per la
* f(x, y) = √(ln(x^2 + y^2 - 1)/(4 - (x^2 + y^2))) + 1/√(π/2 - arctg(x^2 + y^2 - 1))
ammesso che, al solito, (x, y) siano reali si ha
* D[f(x, y)] = R^2
che è un insieme aperto e illimitato.
CIO' RISPONDE AL QUESITO PER COM'E' FORMULATO.
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A pensar male si fa peccato, ma spesso ci s'azzecca (© Giulio Andreotti).
Fusse ca fusse che l'autore stesse pensando domain e, a sua insaputa, scrisse dominio?
In tal caso la nostra bontà ci farà fare qualche calcoletto in più.
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INSIEME DI DEFINIZIONE
Nessun denominatore e nessun argomento di logaritmo dev'essere zero.
INSIEME DI DEFINIZIONE REALE
Nessun denominatore zero, ogni argomento di logaritmo positivo, nessun radicando negativo sotto indice pari.
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NOTA PERSONALE
Dovresti decidere se scrivere "Potreste aiutarmi?" oppure "Se poteste aiutarmi.": "Se potreste aiutarmi." è un erroraccio.