Si considerino due numeri naturali tali che il primo supera di due il secondo e il loro prodotto sia 48 . Si determini il doppio della somma dei due numeri ottenuti addizionando ai precedenti la stessa quantità, sapendo che il prodotto dei due numeri cosi ottenuti supera di 51 il prodotto dei due numeri naturali iniziali.
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Livello 1
Definiamo due variabili: Chiamiamo i due numeri naturali iniziali x e y, dove x è il numero maggiore e y è il numero minore.
Informazioni fornite dal problema:
Trava i due numeri:
Dato che x = y+2, possiamo sostituire x in termini di y nella seconda equazione:
(y+2)*y=48
y^2+2y-48=0
Risolvo equazione di secondo grado
Possiamo usare la formula risolutiva:
Calcolo il valore di x:
sappiamo che y=6, possiamo trovare il valore di x usando la relazione x=y+2
x=6+2=8
Quindi i due numeri sono x=6 e y=8
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Livello 6
@casio Non è detto che "stiamo cercando numeri naturali"; le ipotesi aggiuntive non richieste agli esami provocano bocciature. Il testo è sacro.
L'esercizio presenta un PROBLEMA MAL POSTO per carenza di vincoli.
Infatti "il doppio della somma dei due numeri ottenuti ..." è ± 40, non univoco.
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Il problema preliminare è tradurre in formule semplici la contorta narrativa del testo (due coordinate una all'indicativo e l'altra al congiuntivo).
"due numeri naturali" ≡ x, y interi positivi
"il primo supera di due il secondo" ≡ y = x - 2
"il loro prodotto sia 48" ≡ x*y = 48
"due numeri ... la stessa quantità" ≡ (a = x + q) & (b = y + q)
"sapendo che il prodotto ... iniziali" ≡ a*b = x*y + 51
"il doppio della somma dei due numeri ottenuti ..." ≡ z = 2*(a + b)
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A traduzione effettuata il problema di algebra è di determinare 'z' sotto il vincolo che (x, y) siano interi positivi.
NB: non c'è alcun vincolo su 'q', quindi da intendere reale.
Il sistema delle relazioni individuate, salvo i vincoli, è
* (y = x - 2) & (x*y = 48) & (a = x + q) & (b = y + q) & (a*b = x*y + 51) & (z = 2*(a + b)) ≡
≡ (y = x - 2) & (x*(x - 2) = 48) & (a = x + q) & (b = x - 2 + q) & (a*b = 48 + 51) & (z = 2*(x + q + x - 2 + q)) ≡
≡ (x = 8) & (y = 8 - 2) & (a = 8 + q) & (b = 8 - 2 + q) & (a*b = 99) & (z = 2*(2*(q + 8 - 1))) ≡
≡ (x = 8) & (y = 6) & (a = 8 + q) & (b = 6 + q) & ((8 + q)*(6 + q) = 99) & (z = 4*(q + 7)) ≡
≡ (x = 8) & (y = 6) & (a = 8 + q) & (b = 6 + q) & ((q + 17)*(q - 3) = 0) & (z = 4*(q + 7))
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Il vincolo che (x, y) siano interi positivi, espresso in termini di 'q', è
* (x = a - q > 0) & (y = b - q > 0)
da
* (a = 8 + q) & (b = 6 + q) & ((8 + q)*(6 + q) = 99)
si ha
* (a = - 9) & (b = - 11) & (q = - 17) → (x = - 9 + 17 = 8 > 0) & (y = - 11 + 17 = 6 > 0)
oppure
* (a = 11) & (b = 9) & (q = 3) → (x = 11 - 3 = 8 > 0) & (y = 9 - 3 = 6 > 0)
cioè sono compatibili entrambe le possibili 'q', con due 'z' ben diverse
* q = - 17 → z = 4*(- 17 + 7) = - 40
* q = 3 → z = 4*(3 + 7) = 40
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