Prima una buona notizia che mi pare l'unica e poi un bel po' di non buone che classificherai tu fra correzioni, integrazioni o addirittura confutazioni.
Buona notizia
«Ma quindi non è come se ...?» Sì, è così.
Un bel po' di non buone
«diciamo quindi cone un’unica retta ...» Be' non proprio, ma all'incirca.
Nel riferimento Oxy un fascio di rette r(u, v) è una famiglia di infinite rette ottenute dalla projezione sul piano xy della ipersuperficie descritta, nel riferimento Ouvxy, da un'equazione riducibile alla forma
* r(u, v) ≡ (a(u, v)*x + b(u, v)*y + c(u, v) = 0) & (|u| + |v| > 0)
che quindi si può anche intendere come equazione di una generica retta con i tre coefficienti funzioni degli stessi due parametri (u, v) non entrambi nulli.
«Ho capito (ma non so se è giusto) che è ’creato’ da due rette dette prima generatrice e seconda generatrice che si incontrano in un punto detto centro del fascio.» Proprio no, male capisti!
Non esistono prima e seconda generatrice: generatrici possono essere, alla pari, due qualsiasi rette della famiglia che non "creano il fascio", ma "generano" cioè definiscono la sua equazione come loro combinazione lineare non banale (|u| + |v| > 0) coi coefficienti (u, v).
Per definire un fascio proprio la scelta più ovvia sono le rette coordinate del centro C(p, q) riscritte dalla forma esplicita (x = p) & (y = q) a quella canonica (x - p = 0) & (y - q = 0): se due cose sono eguali a zero lo sarà anche ogni loro combinazione lineare
* r(u, v) ≡ u*(x - p) + v*(y - q) = 0 ≡
≡ u*x + v*y - (p*u + q*v) = 0
da cui si vede che
* a(u, v) = u
* b(u, v) = v
* c(u, v) = - (p*u + q*v)
Per quanto sopra io sostengo che gli esercizi contenenti la consegna di "trovare LE generatrici" con l'articolo determinativo oltre a commettere un grave errore non solo d'italiano, ma soprattutto di matematica, commettono anche un'azione antieducativa instillando nelle giovani menti che dovrebbero istruire convinzioni errate come l'esistenza di una gerarchia fra generatrici e, ancor peggiore, «che la seconda generatrice non si ottenga mai nell’equazione implicita»: com'è ovvio vedere, dall'equazione "u*x + v*y - (p*u + q*v) = 0", che (in quanto forma normale canonica) è implicita, si generano (ottengono) tutte le rette per C(p, q) nessuna esclusa.
«L’angolo fra tutte le rette del fascio ...» è una frase insensata: ogni angolo è fra due semirette, non fra tutte le rette.
«Cosa rappresenta geometricamente k della forma implicita, una specie di coefficiente angolare?» No, se con k vuoi indicare uno dei rapporti u/v o v/u.
Et de hoc satis.
