Domanda sulle equazioni

Ci sono metodi di calcolo numerici iterativi. Esempio:

Metodo iterativo delle tangenti (Newton)

X(n+1)=X(n)-(Y/Y')

con (Y/Y') valutato in X(n)

COS(x) + SIN(x) = x----> COS(x) + SIN(x) - x = 0

Qui c'è una sola radice:

X(n+1) = X(n) - (COS(X(n)) + SIN(X(n)) - X(n))/(COS(X(n)) - SIN(X(n)) - 1)

parti ad esempio da X(0)=1

ed ottieni nell'ordine:

X(1)= 1.293407993

X(2)=1.259171170

X(3)=1.258728252

X(4)=1.258728177

........

.........

No, non esiste.

Queste sono le "vere" equazioni trascendenti e possono essere risolte solo con metodi

grafico - numerici : dal confronto di grafici si determina DOVE stanno le soluzioni e poi

si raffina la precisione con algoritmi iterativi che convergono alla soluzione ( bisezione,

o tangenti ).

Nel tuo esempio

https://www.desmos.com/calculator/up6xuqwckr

IN GENERALE, NO.
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L'equazione
* cos(x) + sin(x) = x ≡ sin(x + π/4) = x/√2 ≡
≡ sin(u) = u/√2 - π/(4*√2) ≡
≡ sin(u) = a*u + b
fa parte della vasta categoria di equazioni la cui soluzione non si esprime in funzioni elementari, ma richiede o il ricorso a metodi grafico-numerici anziché simbolici o, in termini simbolici, l'uso di funzioni speciali (se ne fu definita una per la particolare sub categoria: per la "sin(u) = a*u + b" non ne fu definita nessuna.).
Vale a dire che la x NON si isola, come in tutte le equazioni in cui compare sia come potenza ("x") che come argomento di funzioni trascendenti ("e^(± i*x)").
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Le radici dell'equazione
* sin(x + π/4) = x/√2
sono le ascisse delle intersezioni fra le curve:
1) y = sin(x + π/4), sinusoide definita ovunque, a valore su - 1 <= y <= 1;
2) y = x/√2, la retta per l'origine con pendenza m = 1/√2.
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Tutte le eventuali radici non possono cadere che nell'intervallo fra le intersezioni
* (y = x/√2) & (y^2 = 1) ≡ A(- √2, - 1) oppure B(√2, 1)
cioè ogni radice reale X, se esiste, è limitata in - √2 <= X <= √2.
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Da un primo esame grafico
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3Dx%2F%E2%88%9A2%2C%28x-%E2%88%9A2%29*%28x--%E2%88%9A2%29*%28y-1%29*%28y--1%29%3D0%2Cy%3Dsin%28x--%CF%80%2F4%29%5Dx%3D-1.5to1.5
si rileva che una radice X esiste ed è unica, pressoché equidistante dal culmine della sinusoide (x = π/4 ~= 0.7854) a sinistra e dal confine destro (x = √2 ~= 1.4142)
e quindi se ne ottiene la separazione
* π/4 <= X <= √2 ≡
≡ 0.7854 <= X <= 1.4142
da raffinare valutando
* f(x) = sin(x + π/4) - x/√2
approssimando le costanti irrazionali con un numero di cifre decimali nettamente superiore a quante necessarie per l'approssimazione della radice.
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Un'approssimazione molto accurata, ottenuta da WolframAlpha, è
* X ~= 1.2587281774926764586
e serve a giudicare la rapidità di convergenza del metodo di raffinazione adottato.
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METODO DICOTOMICO
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* 0.7854 <= X0 <= 1.4142
* f(0.7854) = 0.444638 > 0
* f(1.4142) = - 0.191258 < 0
* (0.7854 + 1.4142)/2 = 1.0998
* f(1.0998) = 0.173305 > 0
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* 1.0998 <= X1 <= 1.4142
* f(1.0998) = 0.173305 > 0
* f(1.4142) = - 0.191258 < 0
* (1.0998 + 1.4142)/2 = 1.257
* f(1.257) = 0.00200847 > 0
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* 1.257 <= X2 <= 1.4142
* f(1.257) = 0.00200847 > 0
* f(1.4142) = - 0.191258 < 0
* (1.257 + 1.4142)/2 = 1.3356
* f(1.3356) = - 0.0919928 < 0
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* 1.257 <= X3 <= 1.3356
* f(1.257) = 0.00200847 > 0
* f(1.3356) = - 0.0919928 < 0
* (1.257 + 1.3356)/2 = 1.2963
* f(1.2963) = - 0.0443186 < 0
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* 1.257 <= X4 <= 1.2963
se, per gli scopi del problema da cui nasce l'equazione, basta fermare qui le iterazioni allora
* X = ((1.2963 + 1.257)/2 ± (1.2963 - 1.257)/2)
cioè
* X = (1.27665 ± 0.01965)
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CONCLUSIONE
Il metodo dicotomico è di lenta convergenza perché con quattro iterazioni ha prodotto solo due cifre esatte; ha tuttavia il vantaggio di avere un algoritmo semplicissimo e facilmente programmabile che, con poche righe di Python in ambiente IDLE, può eseguire 4731 iterazioni in trentadue secondi.