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[Risolto] domanda sul numero 3

  

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Una sbarretta sottile di lunghezza $L =10.0 cm$, massa $m =100 g$ e resistenza $R =50.0 \Omega$ è vincolata a scorrere senza attrito su due binari paralleli di resistenza trascurabile, giacenti in un piano orizzontale. Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al piano della figura, in verso entrante, di modulo $B =100 mT$. La sbarretta all'istante $t =0 s$ si muove con velocità di modulo $v _0=5.00 m / s$. Si determinino:
1) La forza elettromotrice indotta in funzione della velocità della sbarretta;
2) Il valore della forza magnetica agente sulla sbarretta in funzione della velocità;
3) La dipendenza dal tempo della velocità della sbarretta.

 

ciao a tutti volevo chiedere nell'esercizio il punto n3 chiede di trovare una una dipendenza dal tempo della velocità della sbarrettA , come posso fare ?. mi potreste aiutare a ragionare ?

Immagine 2023 02 16 160941

 

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La $f.e.m._{ind}$ vale $B \cdot L \cdot v$

La corrente indotta $i$ vale: $\dfrac{B \cdot L \cdot v}{R}$ con verso antiorario perché genera un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso.

La corrente indotta che percorre la sbarretta genera una forza magnetica che tende a rallentare il moto e che vale:

$F \,=\, -i \cdot L \cdot B \,=\, -\dfrac{B^{2}\,L^{2}\, v}{R} \,=\, m \cdot\dfrac{dv}{dt}$

Il segno meno è dato dal fatto che si oppone al movimento della sbarretta.

${ \displaystyle \int_{v_{0}}^{v}{\dfrac{dv}{v}}} \,=\,{ \displaystyle \int_{0}^{t}{ -\dfrac{L^{2}\,B^{2}}{m \, R} \, dt}}$

$log(v) - log(v_{0}) \,=\, -\dfrac{L^{2}\,B^{2} \, t}{m \, R} $

$log(\frac{v}{v_{0}}) \,=\, -\dfrac{L^{2}\,B^{2} \, t}{m \, R} $

$v \,=\, v(t) \,= v_{0} \cdot e^{-\frac{L^{2}\,B^{2}}{m \, R} \, t}$

$v \,=\, v(t) \,=\, 5 \cdot e^{-2 \cdot 10^{-5} \cdot t}$

La velocità risulta esponenzialmente smorzata rispetto al tempo.



Risposta
SOS Matematica

4.6
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