[Risolto] Domanda geometria analitica

Ciao,
Trovi il punto di tangenza tra le due figure geometriche, che si ottiene sostituendo a
\[\left(x-h\right)^2 + \left(y-k\right)^2 = r^2\,,\]

ovvero l'equazione generica di una circonferenza di centro $C(h,k)$, l'equazione dell'iperbole
\[y = \frac{x+1}{-x+1}\,.\]

Successivamente, dopo aver risolto il sistema per $x$ e $y$, calcoli il raggio della circonferenza $r$ come $d(C,P)$, dove $P(x,y)$ è il punto di tangenza.
In conclusione, scrivi formalmente l'equazione della circonferenza.

In che senso "il problema sta nei valori che trovo dalla sostituzione"?

Dopo la sostituzione dell'equazione dell'iperbole in quella della circonferenza di centro $C(1,-1)$, ottieni, dopo opportune semplificazioni

\[ (x - 1)^2 + \frac{4}{(x - 1)^2} = r^2\,. \]

Poni

\[\phi = (x-1)^2 \implies \phi + \frac{4}{\phi} = r^2\,,\]

moltiplicando entrambi i membri per $\phi$, si ha

\[ \phi^2 + 4 = r^2 \phi \,.\]

Per essere tangente, $\Delta = 0$, allora

\[(r^2)^2 - 4 \cdot 4 = 0 \implies r^4 - 16 = 0 \implies r^4 = 16 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\,.\]

L'equazione finale è quindi

\[ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4 \,.\]

Fai come gli antichi: calma, ragionamenti, calcoli, verifiche e tanta pazienza.
Due curve sono tangenti se e solo se hanno almeno una retta tangente comune in un punto comune, cioè se e solo se esiste almeno un'ascissa in cui abbiano pari ordinata e pari pendenza.
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L'iperbole
* Γh ≡ y = (1 + x)/(1 - x)
ha pendenza
* mh(x) = 2/(1 - x)^2
La circonferenza
* Γc ≡ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = q = r^2 ≡ y = - 1 ± √(q - (x - 1)^2)
ha pendenza
* mc(x) = (1 - x)/(1 + y)
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Per la tangenza deve annullarsi il discriminante della risolvente del sistema
* (y = (1 + x)/(1 - x)) & ((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = q) & (q > 0) & (x != 1)
con risolvente
* (x - 1)^2 + ((1 + x)/(1 - x) + 1)^2 - q = 0 ≡
≡ x^4 - 4*x^3 - (q - 6)*x^2 + 2*(q - 2)*x - (q - 5) = 0
che ha il discriminante da azzerare
* Δ(q) = 64*(q^2 - 16)^2
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Pari ordinata
Da
* (64*(q^2 - 16)^2 = 0) & (q > 0)
si ha
* q = 4
* Γc ≡ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4 = r^2 ≡ y = - 1 ± √(4 - (x - 1)^2)
* (y = (1 + x)/(1 - x)) & ((x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4) & (x != 1) ≡
≡ T1(1 - √2, - 1 + √2) oppure T2(1 + √2, - 1 - √2)
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Pari pendenza
* 2/(1 - (1 - √2))^2 = (1 - (1 - √2))/(1 + (- 1 + √2)) ≡ Vero
* 2/(1 - (1 + √2))^2 = (1 - (1 + √2))/(1 + (- 1 - √2)) ≡ Vero
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%281--x%29%2F%281-x%29%2C%28y--1%29%5E2%3D4-%28x-1%29%5E2%5D

il raggio si deduce da

r^2 = min [ (x - 1)^2 + ((x+1) /(-x + 1) + 1)^2 ] =

= min [(x - 1)^2 + 4/(x - 1)^2]

Queste due quantità hanno prodotto costante e sono non negative

la somma é minima quando sono uguali (x - 1)^2 = 2

r^2 = 4

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4

https://www.desmos.com/calculator/5w2ys4bosh

Aggiungo questa nota

xy = P   e x + y = S

x + P/x - S = 0

x^2 - Sx + P = 0

L'esistenza di x e y comporta

Delta = S^2 - 4P =>  S^2 >= 4 P

e poiché x e y sono positive deve esserlo anche la somma S >= 2 rad (P)

Il minimo valore di S é 2 rad P

e si raggiunge quando

x^2 - 2x rad P + P = 0

(x - rad P) ^2 = 0

x = rad P e y = P/rad(P) = rad(P)

Quindi :

se due grandezze omogenee e non negative hanno prodotto costante

la loro somma é minima quando entrambe sono uguali a rad(P).