Un disco e un anello con la stessa massa e lo stesso raggio vengono rilasciati nello stesso istante dalla sommità di una rampa. Il disco raggiunge la base della rampa prima dell’anello,dopo l’anello o nello stesso istante dell’anello?
Un disco e un anello con la stessa massa e lo stesso raggio vengono rilasciati nello stesso istante dalla sommità di una rampa. Il disco raggiunge la base della rampa prima dell’anello,dopo l’anello o nello stesso istante dell’anello?
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Livello 0
Alla partenza hanno entrambi la stessa energia potenziale data da $mgh$
la corservazione dell'energia meccanica ci dice anche che:
$mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2$
dove $I$ è il momento di inerzia del corpo, $\omega=v/r$ e $r$ è il raggio.
Avendo i due corpi momenti di inerzia diversi, la velocità $v$ sarà diversa.
in particolare per il disco otterrai:
$I_{disco}=\frac{1}{2}mr^2$
$v_{disco}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$
mentre per l'anello (se non ho sbagliato i conti):
$I_{anello}=mr^2$
$v_{anello}=\sqrt{gh}$
Pertanto la velocità del disco sarà maggiore e arriverá prima il disco.
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Livello 9
@giulia mi spieghi come mai mi hai votato negativamente?
@sebastiano buonasera, mi permetta una domanda, come mai per trovare la velocità dell'anello devo fare √gh...? Ho lo stesso problema ma numerico ed effettivamente così viene il risultato corretto, ma non riesco a capirne il motivo...
@sebastiano non capisco come ha fatto a trovare le velocià
energia potenziale U = m*g*h
energie cinetiche e velocità finali :
# sfera solida:
MdI J sfera = 2/5mr^2
m/2V^2 + J/2*V^2/r^2
m/2V^2+1/5mV^2 = 0,7 mV^2
m*g*h = 0,7 mV^2
V = √g*h/0,7 = 1,195√g*h
# disco (cilindro):
MdI J' disco = 1/2mr^2
m/2V'^2 + J'/2*V'^2/r^2
m/2V'^2+1/4mV'^2 = 0,75 mV'^2
m*g*h = 0,75 mV'^2
V' = √g*h/0,75 = 1,155√g*h
# anello (cilindro cavo):
MdI J'' anello = mr^2
m/2V''^2 + J''/2*V''^2/r^2
m/2V''^2+m/2V''^2 = m*V''^2
m*g*h = mV''^2
V'' = √g*h
# sfera cava:
MdI J''' sfera = 2/3mr^2
m/2V'''^2 + J'''/2*V^2/r^2
m/2V'''^2+1/3mV'''^2 = 5/6 mV'''^2
m*g*h = 5/6 mV'''^2
V''' = √g*h*6/5 = 1,095√g*h
La singolarità, niente affatto intuitiva, è che oggetti della stessa natura (cilindri entrambi pieni o cavi, sfere entrambe piene o cave) rotolano giù con la stessa velocità finale indipendentemente dalle dimensioni e dalla massa come da allegato video di W. Lewin
hollow body will always lose !!!
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Genius II