Domanda di fisica

Tralascio la dimostrazione matematica (si tratta dell'integrale del termine ∫atdt =a∫tdt =1/2at^2) e mi limito ad una interpretazione di natura fisica.

Il termine 1/2a t^2 rappresenta il contributo dello spazio percorso dovuto all'accelerazione. Il fattore 1/2​ compare perché il moto accelerato parte da una velocità iniziale v(o), ma la velocità aumenta gradualmente da v(o) a v(o)+at. Questo significa che la velocità media durante l'intervallo di tempo t è:

v(media)=[(v(o)+v(t))/2]=[v(o)+v(o)+at]/2=v(o)+at/2

Moltiplicando questa velocità media per il tempo t, si ottiene lo spazio percorso a causa dell'accelerazione:

s=v(media)t=[v(o)+at/2]t=v(o)t+1/2at^2

In sintesi, il fattore 1/2​ riflette il fatto che l'accelerazione contribuisce al moto in modo graduale, influenzando la velocità e quindi lo spazio percorso in maniera proporzionale al quadrato del tempo.

Elementarmente ed ignorando i fronzoli

perché la velocità media é (vf + vi)/2 = (at + 0)/2 = at/2

e s = vm T = a t/2 * t = 1/2 a t^2

S = (Vo+Vf)*t/2 

Vf = a*t

S = 0+a*t*t/2 = a/2*t^2

Guarda, questo è il grafico che illustra la variazione della velocità nel tempo in un moto rettilineo uniforme:

Non ci sono sorprese, la velocità rimane costante nel tempo, quindi la sua rappresentazione sul piano cartesiano è una retta parallela all'asse dell'ascisse con ordinata $v_0$, in altre parole una retta di equazione $y=v_0$. Nota che però, considerando un istante di tempo $t$ e la retta parallela all'asse delle ordinate di equazione $x=t$, possiamo vedere come si formi un rettangolo che ha dimensioni $t$ e $v_0$, l'area di questo rettangolo è perciò $A=v_0t$ che corrisponde allo spazio, perché (questo è un concetto non necessariamente troppo avanzato di analisi matematica) la velocità è la derivata della posizione, ovvero un numero che mi indica quanto velocemente varia la posizione, quindi calcolare la posizione corrisponde a calcolare l'area sotto la curva (in analisi questo corrisponde all'integrazione). 

Applichiamo la stessa logica ad un moto uniformemente accelerato:

Guarda questa volta come l'area da calcolare sia l'area sotto la curva che ha come equazione $y=at$, possiamo di nuovo considerare la retta di equazione $x=t$ e il calcolo si riduce alla superficie di un triangolo rettangolo di dimensioni $at$ e $t$, quindi l'area sotto la curva è $A=\frac{1}{2} at \times t = \frac{1}{2} at^2$. 

Guarda adesso questa figura, questo è il grafico velocità tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato con velocità iniziale diversa da 0, nota come l'area del triangolo rettangolo sia equivalente al mezzo prodotto delle sue dimensioni che questa volta sono $t$ e $at+v_0-v_0=at$, quindi l'area anche questa volta è $A_1=\frac{1}{2} at^2$, tuttavia, per calcolare l'area completa sotto la curva, dobbiamo considerare anche il rettangolo di dimensioni $v_0$ e $t$, la sua area sarà quindi $A_2=v_0t$, l'area sotto la curva è quindi $A=A_1+A_2=v_0t+\frac{1}{2}at^2$.

Si può pensare di calcolare anche l'area del trapezio di base minore $v_0$, base maggiore $v_0+at+v_0-v_0=v_0+at$ e altezza $t$, per ottenere il risultato equivalente $A=\frac{v_0+v_0+at}{2}t=\frac{2v_0+at}{2}t= v_0t+\frac{1}{2}at^2$. 

Naturalmente, in presenza di una posizione iniziale diversa da 0, si aggiunge semplicemente la posizione iniziale per trovare la posizione nuova.

I grafici sono stati realizzati con Desmos: https://www.desmos.com/calculator?lang=it

Spero di essere stato chiaro, se hai dei dubbi chiedi pure commentando questa risposta!