[Risolto] Domanda derivate parziali

Se hai una funzione $f(x,y)$

puoi definire il suo gradiente come

$\nabla (f)=[\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}]$

Le derivate parziali seconde invece sono quattro e ti vanno a formare una matrice che prende il nome di Hessiano, in cui sono listate le 4 derivate parziali seconde

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

il teorema di Schwarz poi ti assicura che le derivate seconde miste sono uguali

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Schwarz

Se sono derivate prime non c'é nulla da permutare, si fanno ciascuna rispetto a una variabile

Le derivate seconde di una funzione a n variabili sono n^2; di queste n sono pure e n^2 - n

miste, che di solito sono a coppie uguali.

In coordinate cartesiane il gradiente é il vettore grad f = [ df/dx, df/dy, df/dz ]

In coordinate generiche il gradiente di f é definito dal fatto che risulta

df = grad f * dr     (dr spostamento elementare)

NO, NON OCCORRE FARE LE PERMUTAZIONI perché le derivate miste sono invarianti alle permutazioni.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=hessian+of+x%5E3+%28y%5E2+-+z%29%5E2
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Il gradiente è il vettore delle derivate prime.
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=jacobian+of+x%5E3+%28y%5E2+-+z%29%5E2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=nabla+of+x%5E3+%28y%5E2+-+z%29%5E2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=gradient+of+x%5E3+%28y%5E2+-+z%29%5E2