Domanda

SIN(150°) = 1/2 ; COS(150°) = - √3/2

Comunque si prenda P sull'arco minore, l'angolo alla circonferenza è sempre lo stesso: 150°

È già stata fornita una risposta alla domanda, però, per dimostrare che l'angolo $\widehat{APB}$ sia effettivamente di 150° indipendentemente dalla relazione tra la perpendicolare ad $\overline{AB}$ e il segmento $\overline{OP}$, si procede nella maniera seguente (consiglio di osservare il diagramma sottostante per comprendere al meglio la dimostrazione):

Considerando inizialmente il caso in cui i segmenti $\overline{OP}$ e $\overline{AB}$ siano effettivamente perpendicolari, sia $H$ il punto di intersezione tra i due segmenti, allora i triangoli $AHP$ e $BHP$ sono triangoli congruenti, per cui $\widehat{ABP} \cong \widehat{BAP}$, inoltre il segmento $\overline{HP}$ è mediana e altezza e bisettrice del triangolo $ABP$, quindi indicando l'angolo $\widehat{BPH}$ e il suo adiacente con $\beta$ e l'angolo $\widehat{ABP}$ e il suo congruente con $\alpha$, si ha che 

$\begin{equation}
\begin{cases}
60 ° + 2(60 ° + \alpha)+2 \beta = 360 °\\ 60 ° + 60 ° + \alpha + \beta = 180 °\end{cases}\
\end{equation}$

Le equazioni derivano dal quadrilatero $ABOP$ e dal triangolo $AOP$.

Sostituendo alla seconda equazione $\alpha = \beta - 90 °$, si ricava che $2 \beta = 150 °$.

L'ampiezza dell'angolo $\widehat{AP'B}$ è 150° a prescindere dalla posizione di $P'$ sull'arco di circonferenza $AB$ perché $\widehat{AP'B}$ e $\widehat{APB}$ sono angoli che insistono sullo stesso arco di circonferenza.

Per il calcolo del seno e del coseno dell'angolo, se non si vuole usare la calcolatrice:

$\overline{AP}^2=r^2(2-\sqrt{3}) \implies \overline{AP} = r \sqrt{2- \sqrt{3}}$ e quindi $\sin \alpha = \frac{2-\sqrt{3}}{2(\sqrt{2-\sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}= \cos \beta$, inoltre $\cos \alpha =\frac{r}{2}
\cdot \frac{1}{r(\sqrt{2-\sqrt{3}})}=\frac{1}{2 \sqrt{2-\sqrt{3}}} = \sin \beta$ e da qui deriviamo che per le identità degli angoli doppi $\cos 2 \beta = 2(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2})^2 -1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 2 \beta = 2 \sin \beta \cos \beta = 2 \frac{1}{2 \sqrt{2-\sqrt{3}}}\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}= \frac{1}{2}$ (sappiamo che $\overline{AH}$ è la metà del segmento $\overline{AB}$ e che il segmento $\overline{HP}$ è la differenza tra il raggio della circonferenza e l'altezza di un triangolo equilatero che ha come lato lo stesso raggio).

Spero di essere stato esauriente, e buone feste!!!