[Risolto] DIVISIONI FRA POLINOMI

La divisione euclidea fra polinomi nella stessa variabile (qui la "x")
15) N(x)/D(x) = (a*x^5 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a)/(x - 2)
è la procedura che costruisce per passi successivi un polinomio quoziente Q(x) di grado
* gr[Q] = gr[N] - gr[D]
e un polinomio resto R(x) di grado
* 0 <= gr[R] < gr[D]
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PROCEDURA
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A) inizializzazione: porre il resto iniziale R[0] eguale al dividendo N e Q a zero.
* R[0] = a*x^5 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a
* Q = 0
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B) elaborazione
B1) aggiungere a Q il rapporto k fra i primi monomi di R[attuale] e D
* k = a*x^5/x
* Q = Q + k
B2) aggiornare R[attuale] = R[attuale] - k*D
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C) verifica di fine procedura
C1) se gr[R] < gr[D]: terminare esibendo Q ed R
C2) altrimenti proseguire da B
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ESERCIZIO #15
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A
* R[0] = a*x^5 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a
* Q = 0
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B
* k = a*x^5/x
* Q = a*x^4
* R[1] = a*x^5 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a - (x - 2)*a*x^4 =
= 2*a*x^4 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a
* k = 2*a*x^4/x
* Q = a*x^4 + 2*a*x^3
* R[2] = 2*a*x^4 - 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a - (x - 2)*2*a*x^3 =
= 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a
* k = 2*a*x^3/x
* Q = a*x^4 + 2*a*x^3 + 2*a*x^2
* R[3] = 2*a*x^3 + 4*x^2 - 8*x - 16*a - (x - 2)*2*a*x^2 =
= 4*(a + 1)*x^2 - 8*x - 16*a
* k = 4*(a + 1)*x^2/x
* Q = a*x^4 + 2*a*x^3 + 2*a*x^2 + 4*(a + 1)*x
* R[4] = 4*(a + 1)*x^2 - 8*x - 16*a - (x - 2)*4*(a + 1)*x =
= 8*a*x - 16*a
* k = 8*a*x/x
* Q = a*x^4 + 2*a*x^3 + 2*a*x^2 + 4*(a + 1)*x + 8*a
* R[5] = 8*a*x - 16*a - (x - 2)*8*a =
= 0
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C1
Se gr[0] < gr[x - 2]: TERMINARE esibendo Q ed R
* Q = a*x^4 + 2*a*x^3 + 2*a*x^2 + 4*(a + 1)*x + 8*a
* R[5] = 0