I quesiti 2 e 4 (e in qualche modo anche 3a) sono istanze della medesima consegna: fare una divisione e risolvere l'equazione che annulla il resto.
Per il quesito 3b serve solo un po' di destrezza e pazienza manipolatoria.
Il quesito 5 mi sembra il solo fra tutti che richieda un minimo d'impegno.
Ah, dimenticavo: la decomposizione è quella dei cadaveri; quella dei polinomi si chiama scomposizione.
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2) x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + a*x + b = (x^2 + 3*x + 5)*(x - 1)*(x + 1) + (a + 3)*x + b + 5
dove il resto è identicamente nullo per (a = - 3) & (b = - 5).
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4) x^4 - 2*(a*x)^2 + a^4 = (x^2 - a^2)^2 =
= (x^3 + (2*a - 1)*x^2 + (2*a^2 - 4*a + 1)*x + (2*a - 1)*(2*a^2 - 4*a + 1))*(x - 2*a + 1) + ((3*a - 1)*(a - 1))^2
dove il resto è identicamente nullo per (a = 1/3) oppure per (a = 1).
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3a) P(x, y) = (x + y + 1)^n - x^n - y^n - 1 = (x + y + 1)^n - (x^n + y^n + 1) =
= (Q)*((x + y)*(x + 1)*(y + 1)) + (R) =
= (Q)*(y*x^2 + x*y^2 + x^2 + 2*x*y + y^2 + x + y) + (R)
non potrei dirti nulla di diverso da ciò che t'ha scritto @anna-supermath e di sicuro sarei prolisso.
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3b) P(x, y) = (x + y + 1)^3 - x^3 - y^3 - 1 = (x + y + 1)^3 - (x^3 + y^3 + 1) =
= (x^3 + y^3 + 3*y*x^2 + 3*x*y^2 + 3*x^2 + 6*x*y + 3*y^2 + 3*x + 3*y + 1) - (x^3 + y^3 + 1) =
= 3*y*x^2 + 3*x*y^2 + 3*x^2 + 6*x*y + 3*y^2 + 3*x + 3*y =
= 3*(y*x^2 + x*y^2 + x^2 + 2*x*y + y^2 + x + y) =
= 3*(x*y*(x + y) + (x + y)^2 + x + y) =
= 3*(x + y)*(x*y + x + y + 1) =
= 3*(x + y)*(x + 1)*(y + 1)
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5) x^4 + 4 <= a*(x^2 - 2*x + 2) ≡
≡ (x^4 + 4)/(x^2 - 2*x + 2) <= a ≡
≡ x^2 + 2*x + 2 <= a ≡
≡ x^2 + 2*x + 2 - a <= 0
operazione lecita in quanto
* x^2 - 2*x + 2 = (x - 1)^2 + 1 >= 1 > 0
non influisce sulla diseguaglianza né si azzera.
Pertanto, dato che il primo membro ha discriminante
* Δ(a) = 4*(a - 1)
si ha la distinzione di casi
* per a < 1, nessuna soluzione
* per a = 1, x = - 1: una soluzione doppia
* per a > 1, infinite soluzioni nell'intervallo - 1 - √(a - 1) <= x <= - 1 + √(a - 1)
