[Risolto] Distanza minima

Possiamo utilizzare qualche accorgimento per non fare troppi calcoli

P = (x: x^4/8)   A = (0;5/2)

Cerchiamo il minimo assoluto di

AP^2 = (x - 0)^2 + (x^4/8 - 5/2)^2  = x^2 + (x^4 - 20)^2/64 =

= (x^8 - 40x^4 + 64x^2 + 400)/64

in [0, +oo[ trattandosi di una funzione pari.

Posto t = x^2 deve quindi essere

t^4 - 40t^2 + 64 t + 400 = minimo

4 t^3 - 80 t + 64 >= 0   per gli intervalli di crescenza

t^3 - 20t + 16 >= 0

Scomponendo con la regola di Ruffini

(t - 4) (t^2 + 4t - 4) >= 0

t >= 4   per il primo fattore e

t = -2 +- rad(4 + 4) = -2 +- 2 rad 2

sono le radici dell'altro ( segno positivo in intervalli esterni )

Ricordiamo che t = x^2 deve essere non negativo per cui

gli intervalli di crescenza sono 0 <= t <= 2 rad(2) - 2 e t >= 4.

Si devono confrontare quindi d(0) e d(2) e scegliere il minore.

d(0) = rad(400/64) = 20/8 = 5/2

d(2) = rad((x^8 - 40x^4 + 64x^2 + 400)/64 ) =

= rad(256 - 40*16+ 64*4 + 400)/8 = rad(272)/8 =

= rad(2^4*17)/2^3 = rad(17)/2

ed il valore minimo é questo.

Il punto corrispondente é P* = (2, 16/8) = (2,2).