Disequzione goniometrica

Per operare con l'angolo aggiunto si sposta il termine noto a destra

sin x + cos x >= 1

si divide per rad (1^2 + 1^2) = rad 2

sin x * rad(2)/2 + cos x * rad(2)/2 >=  rad(2)/2

e quindi riconosciuto

sin x cos pi/4 + cos x sin pi/4 >= rad(2)/2

puoi scrivere

sin (x + pi/4) >= sin pi/4

sulla circonferenza goniometrica si vede che questo accade da

metà del I quadrante a metà del secondo :

pi/4 + 2 k pi <= x + pi/4 <= 3/4 pi + 2k pi    k in Z

2 k pi <= x <= 2 k pi + pi/2     con k in Z

Essendo una disequazione, conviene usare direttamente il metodo grafico.

Consideriamo il sistema in cui pongo $Y=sinx$ e $X=cosx$. Nota che trasformo la disequazione in equazione.

{$Y + X -1 = 0$

{$X^2+Y^2 = 1$

Isolo Y dalla prima e sostituisco:

{$Y = 1 - x$

{$X^2 + 1+X^2 -2X = 1$

Dalla seconda ottengo:

$2X^2 -2X=0$

$ 2X(X-1)=0$

Per cui le soluzioni sono:

{$X=0$

{$Y=1-0=1$

oppure 

{$X=1$

{$Y=1-1=0$

Traccio quindi la circonferenza goniometrica con i due punti di coordinate (0,1) e (1,0) trovati dal sistema:

Dato che la nostra disequazione è "$\geq$", ci interessa la porzione di circonferenza che si trova al di sopra della retta tracciata, che nel disegno ho evidenziato in rosso.

La soluzione sarà dunque:

$ 0+2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2}+2k\pi$

Noemi

Anziché: SIN(x) + COS(x) - 1 ≥ 0

preferisco scrivere:

SIN(α) + COS(α) - 1 ≥ 0

per cui pongo:

{SIN(α) = Υ

{COS(α) = Χ

Scrivo quindi il sistema:

{Χ^2 + Υ^2 = 1

{Υ + Χ - 1 ≥ 0

Da cui deduco  la soluzione del problema in α

2·k·pi ≤ α ≤ pi/2 + 2·k·pi

Dal momento che il periodo del primo membro è 2*π ci si può limitare al primo giro
* (sin(x) + cos(x) - 1 >= 0) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ (sin(x) + cos(x) >= 1) & (0 <= x < 2*π) ≡
≡ ((√2)*sin(x + π/4) >= 1) & (0 + π/4 <= x + π/4 < 2*π + π/4) ≡
≡ (sin(u) >= 1/√2) & (π/4 <= u < 9*π/4) ≡
≡ (π/4 <= u <= 3*π/4) ≡
≡ (π/4 <= x + π/4 <= 3*π/4) ≡
≡ 0 <= x <= π/2
e alla fine reintrodurre la periodicità
* (sin(x) + cos(x) - 1 >= 0) & (k ∈ Z) ≡
≡ 2*k*π <= x <= = (4*k + 1)*π/2 (= π/2 + 2*k*π)