[Risolto] Disequazioni superiori al primo grado

Che sia superiore al primo grado non è molto importante (vale quanto e come il re di spade in una partita di poker).
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Il polinomio
* p(x) = y = x^4 - 7*x - 3 = (x^3 - 7)*x - 3
è monico con termine noto razionale perciò, se ha zeri razionali essi sono tutti e soli in
* {- 3, - 1, 1, 3}
che sono tutti i divisori del termine noto.
Ma le valutazioni
* p(- 3) = 99; p(- 1) = 5; p(+ 1) = - 9; p(+ 3) = 57
pur isolando due zeri reali (uno fra -1 e 1, l'altro fra 1 e 3) tuttavia deludono la speranza di una scomposizione con calo di grado e introducono il sospetto (QUASI LA CERTEZZA!) o che tu abbia copiato male o che la tua fonte abbia un refuso.
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In assenza di una tua conferma del sospetto e conseguente correzione, resta da scegliere fra i corni del dilemma: i terrorizzanti radicali annidati di Ferrari-Cardano che danno una soluzione simbolica esatta oppure una ragionevole soluzione approssimata calcolata numericamente?
Io che non ho mai fatto il dattilografo di professione (né l'amanuense, se è per questo!) opto decisamente per il secondo corno e (non ti mostro come, dato il sospetto) trovo
* X1 ~= - 0.42
* X2 ~= + 2.04
da cui
* p(- 0.42) ~= - 0.029
* p(+ 2.04) ~= + 0.039
valori che, pur se malapprossimati, rendono l'idea degli zeri.
Per vedere se ci sono altri zeri non isolati dalle valutazioni sui divisori del tre faccio un calo di grado: elimino X1 e X2 dividendo p(x) per il polinomio d(x) che li ha come zeri
* d(x) = (x + 42/100)*(x - 204/100) = x^2 - (81/50)*x - 1071/1250
ottenendo
* quoziente q(x) = x^2 + (81/50)*x + 8703/2500
* resto r(x) = (86125*x - 54087)/3125000
con un resto lineare che rappresenta l'errore d'approssimazione
* s'azzera per x ~= 0.63
* ha pendenza m ~= 0.03
e sui quasi-zeri vale, èverocomesidice, quanto p(x) [T. del Resto, di Ruffini, ...].
Quindi reputo attendibile che gli zeri di q(x) approssimino quelli di p(x).
* q(x) = x^2 + (81/50)*x + 8703/2500 = (x + 81/100)^2 + 28251/10000
che essendo ovunque positivo non ha zeri reali.
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CONCLUSIONE
Inserendo X1 e X2 nell'elenco delle valutazioni
* p(- 3) = 99
* p(- 1) = 5
* p(X1) = 0
* p(+ 1) = - 9
* p(X2) = 0
* p(+ 3) = 57
si vede come risolvere la disequazione originaria
* p(x) = y = x^4 - 7*x - 3 < 0 ≡
≡ X1 < x < X2

Scomponi in fattori il trinomio di quarto grado.

@hana

che classe fai? Sei sicura di avere scritto giustamente la disequazione?

A meno che quell'x non sia un realtà x^2 (disequazione biquadratica) 

si può risolvere solo per via grafica 

https://www.desmos.com/calculator/fgnvg0ybc8

- 0.424 < x < 2.039