Disequazioni irrazzionali con modulo URGENTE

Per maggior chiarezza indico con:

• $f(x) := |2x^2+3x+1|$
• $g(x) := - \sqrt{2} x $

Le soluzioni per questo tipo di disequazione si ottengono risolvendo i seguenti due sistemi

⊳ 1° sistema.

Se g(x) è negativo è sufficiente che la radice sia definita

$\left\{\begin{aligned} g(x) &\lt 0 \; ⇒ \; x > 0 \\ f(x) &\gt 0 \; ⇒ \; \text {vera, per ogni x reale} \end{aligned} \right. $  

Il contributo alla soluzione per questo primo sistema è x > 0.

⊳ 2° sistema.

Se g(x) è positivo o nullo allora è necessario che l'argomento della radice sia maggiore o eguale al quadrato della g(x).

$\left\{\begin{aligned} g(x) &\ge 0 \; ⇒ \; x \le 0 \\ f(x) &\gt g(x)^2 \; ⇒ \; |2x^2+3x+1| \gt 2x^2 \end{aligned} \right. $  

eliminiamo il valore assoluto ottenendo le seguenti due disequazioni

1. $\;2x^2+3x+1 \gt 2x^2 \; ⇒ \; x \gt -\frac{1}{3}$
2. $\;2x^2+3x+1 \lt -2x^2 \; ⇒ \; 4x^2+3x+1 \lt 0$ Nessuna soluzione. Il discriminante del trinomio è negativo Δ = -7

Il contributo alla soluzione per questo secondo sistema è $ -\frac{1}{3} \lt x \le 0$

La soluzione generale sarà quindi  x > - 1/3.