DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE CON VALORE ASSOLUTO.

la disequazione in modulo equivale a scrivere due sistemi:

Sistema 1

{2·SIN(x) < COS(x)^2

{SIN(x) ≥ 0

Sistema 2

{- 2·SIN(x) < COS(x)^2

{SIN(x) < 0

poniamo:

Χ = COS(x)

Υ = SIN(x)

I due sistemi, tenendo conto della relazione fondamentale trigonometrica si scrivono:

Sistema 1

{2·Υ < Χ^2

{Υ ≥ 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

Sistema 2

{- 2·Υ < Χ^2

{Υ < 0

{Χ^2 + Υ^2 = 1

Vengono risolti per via grafica nel piano cartesiano ottenendo 2 soluzioni che unite portano al grafico:

Le intersezioni delle due parabole con la circonferenza goniometrica sono individuate dai 4 punti di figura che sono:

X = √(2·√2 - 2) ∧ Y = √2 - 1

X = - √(2·√2 - 2) ∧ Y = √2 - 1

In corrispondenza dei due angoli:

[x = ASIN(√2 - 1)] e [x = pi - ASIN(√2 - 1)]

X = √(2·√2 - 2) ∧ Y = 1 - √2

X = - √(2·√2 - 2) ∧ Y = 1 - √2

In corrispondenza dei due angoli:

[x = - ASIN(√2 - 1)] e [x = ASIN(√2 - 1) + pi]

da cui la soluzione generale indicata nel testo:

k·pi ≤ x < ASIN(√2 - 1) + k·pi ∨ pi - ASIN(√2 - 1) + k·pi < x < pi + k·pi