DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE CON VALORE ASSOLUTO.

$ -|cosx| \le sin x - 1 \le |cos x| $

Osserviamo che la seconda disequazione è vera per ogni valore di x, quindi rimane da studiare

$ -|cosx| \le sin x - 1 $

$ 1 - sin x \le |cos x| $               eliminiamo il valore assoluto

$ 1 - sin x \le \pm cos x $          e discutiamo i due casi

• Caso +.     $ cos x + sin x \ge 1$      Equazione lineare che risolviamo per sostituzione.  

$\left\{\begin{aligned} X+Y &= 1\\ X^2+Y^2 &= 1 \end{aligned} \right. $

le cui due soluzioni sono:

⊳ $ X = cos x = 1 \land Y = sin x = 0 \; ⇒ \; x = 2k\pi;$

⊳ $ X = cos x = 0 \land  Y = sin x = 1 \; ⇒ \; x = \frac {\pi}{2} + 2k\pi;$

Per questo caso, la disequazione è verificata in

$ 2k\pi \le x \le \frac {\pi}{2} + 2k\pi;$

.

• Caso -.     $ cos x - sin x + 1 \le 0$      Equazione lineare che risolviamo per sostituzione.  

$\left\{\begin{aligned} X-Y &= 1\\ X^2+Y^2 &= 1 \end{aligned} \right. $

le cui due soluzioni sono:

⊳ $ X = cos x = -1 \land Y = sin x = 0 \; ⇒ \; x = \pi + 2k\pi;$

⊳ $ X = cos x = 0 \land  Y = sin x = 1 \; ⇒ \; x = \frac {\pi}{2} + 2k\pi;$

Per questo caso, la disequazione è verificata in

$ \frac {\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi;$

.

Conclusione. Procedendo all'unione dei due insiemi soluzione avremo

$  2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi; \qquad k \in \mathbb{Z}$