[Risolto] DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE.

Semplifichiamo il denominatore. Dalle

⊳ $ sin(x+ \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (cos x + sin x) $

⊳ $ cos(x+ \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (cos x - sin x) $

segue che il denominatore può essere riscritto come 

$ sin(x+ \frac{\pi}{4}) - cos(x+ \frac{\pi}{4}) - 1 = \sqrt{2}sin x - 1 $

► Numeratore.

Osserviamo che il numeratore è minore o al più eguale a zero per ogni valore di x reale.

Quando il numeratore si annulla la disequazione è soddisfatta, quindi 

$ cos x = 1 \; ⇒ \; x = 2k\pi $      (nota. Verificato che per x = 0 il denominatore non si annulla.)

Inoltre, stando così le cose la disequazione sarà verificata se il denominatore sarà positivo, cioè

► Denominatore.

$ \sqrt{2}sin x \gt 1$     ovvero

$ sin x \gt \frac{\sqrt{2}}{2} \; ⇒ \; \frac{\pi}{4} + 2k\pi \, \lt x \, \lt \frac{3\pi}{4} + 2k\pi $

$\qquad k \in \mathbb{Z} $