[Risolto] Disequazioni goniometriche

a.  Riscriviamo l'espressione in termini di seno e coseno.

$ \frac {sin(x) (\frac{cos(x)-1}{cos(x)})}{sin(x)(\frac {sin(x) - cos(x)}{cos(x)}) } \le 0$

b.  Condizioni di esistenza.

• sin(x) ≠ 0  ⇒ x ≠ π/2 + kπ, con k∈ℤ
• cos(x) ≠ 0  ⇒ x ≠ kπ, con k∈ℤ
• sin(x) ≠ cos(x)  ⇒ x ≠ π/4 + kπ, con k∈ℤ 

c.   Semplifichiamo.

$ \frac {cos(x)-1}{sinx-cos(x)} \le 0 $

d.  Passiamo alle soluzioni.

Consideriamo due casi, 

d.1 Se sin(x) - cos(x) > 0 cioè nell'intervallo (π/4, 5π/4) l'equazione è verificata per 

cos(x) ≤ 1 

e questa è vera per ogni x, 

Questo caso contribuisce all'insieme soluzioni per tutte le x tali che

$ \frac{π}{4} + 2kπ \lt x \lt \frac{5π}{4} + 2kπ $

alle quali occorre occorre eliminare le due condizioni di non esistenza che lo coinvolgono, cioè

x ≠ π/2 + 2kπ ∧ x ≠ π + 2kπ 

d.2 Se sin(x) - cos(x) < 0 cioè nell'intervallo (-5π/4, π/4) l'equazione è verificata per 

cos(x) ≥ 1 

e questa è falsa oppure inaccettabile quando vale l'uguaglianza, vedi punto b.

.

Conclusione.

$ \frac{π}{4} + 2kπ \lt x \lt \frac{5π}{4} + 2kπ \land  x \ne \frac{π}{2} + 2kπ \land x \ne π + 2kπ $