Disequazioni goniometriche

643)

2*(sin²x + cos²x) - 1 >= sin (2x)

sin (2x) <= 1 ==>  Vx€R

642)

EX.642

3·SIN(x)^2 + 2·√3·SIN(x)·COS(x) - 3·COS(x)^2 ≤ 0

che riscrivo:

3·SIN(α)^2 + 2·√3·SIN(α)·COS(α) - 3·COS(α)^2 ≤ 0

poi faccio le posizioni:

{COS(α) = Χ

{SIN(α) = Υ

Quindi opero sul piano cartesiano andando a risolvere il sistema:

{Χ^2 + Υ^2 = 1

{3·Υ^2 + 2·√3·Υ·Χ - 3·Χ^2 ≤ 0

Dalla seconda: √3·(Υ + √3·Χ)·(√3·Υ - Χ) ≤ 0

con l'obbligo di scegliere le soluzioni sulla circonferenza goniometrica ottengo:

Leggendo quindi dal grafico la soluzione del problema:

- pi/3 + k·pi ≤ x ≤ pi/6 + k·pi

642) 3*sin^2(x) + (2*√3)*sin(x)*cos(x) - 3*cos^2(x) <= 0 ≡
≡ sin^2(x) + (2/√3)*sin(x)*cos(x) - cos^2(x) <= 0 ≡
≡ sin^2(x) - cos^2(x) + (2/√3)*sin(x)*cos(x) <= 0 ≡
≡ - cos(2x) + (2/√3)*sin(2*x)/2 <= 0 ≡
≡ (1/√3)*sin(2*x) - cos(2x) <= 0 ≡
≡ (1/√3)*sin(u) - cos(u) <= 0 ≡
≡ (- 2/√3)*cos(u + π/6) <= 0 ≡
≡ cos(u + π/6) >= 0 ≡
≡ 2*k*π - 2*π/3 <= u <= 2*k*π + π/3 ≡
≡ 2*k*π - 2*π/3 <= 2*x <= 2*k*π + π/3 ≡
≡ k*π - π/3 <= x <= k*π + π/6
che è proprio il risultato atteso.