Disequazioni esponenziali n. 810-811 risolubili con logaritmi

@beppe

Sempre alle prese con questi problemi! Ciao!

(15^x - 5^(x + 1) + 5·3^x - 9^x)/(4^x - 4) ≤ 0

((3^x·5^x - 5^x·5) + (5·3^x - 3^(2·x)))/(2^(2·x) - 2^2) ≤ 0

raccoglimento a fattori parziali al numeratore:

(5^x·(3^x - 5) + 3^x·(5 - 3^x))/(2^(2·x) - 2^2) ≤ 0

(5^x·(3^x - 5) - 3^x·(3^x - 5))/(2^(2·x) - 2^2) ≤ 0 (occhio al segno - al numeratore!)

al denominatore differenza di due quadrati:

(3^x - 5)·(5^x - 3^x)/((2^x + 2)·(2^x - 2)) ≤ 0

Hai quindi 4 fattori: 2 al numeratore e due al denominatore. Di questi:

2^x + 2 > 0-----> sempre vera: quindi nel gioco dei segni si può non considerare e la disequazione si riporta alla seguente:

(3^x - 5)·(5^x - 3^x)/(2^x - 2) ≤ 0

Quindi solo i due fattori al numeratore si possono annullare.

Studio del segno;

3^x - 5 ≥ 0------> x ≥ LN(5)/LN(3)   (quindi: x ≥ 1.464973520)

5^x - 3^x ≥ 0-----> x ≥ 0

2^x - 2 > 0-------> x > 1

Mettiamo quindi i segni dei tre fattori:

--------------------------[LN(5)/LN(3)]++++++++++>x

---------[0]++++++++++++++++++++++++++>x

-----------------(1)++++++++++++++++++++++>x

Segno rapporto:

--------[0]+++(1)----[LN(5)/LN(3)]+++++++++++>x

Soluzione ( col meno!)

1 < x ≤ LN(5)/LN(3) ∨ x ≤ 0

L'altra disequazione:

equivale a:

LN(2^(2·x + 1) - 5·2^x - 3)/LN(3) - LN(2^x - 3)/LN(3) ≥ 0

LN(2^(2·x + 1) - 5·2^x - 3) ≥ LN(2^x - 3)

2^(2·x + 1) - 5·2^x - 3 ≥ 2^x - 3

(2^(2·x + 1) - 5·2^x - 3) - 2^x + 3 ≥ 0

2^(2·x + 1) - 3·2^(x + 1) ≥ 0

(N.B.

- 5·2^x - 2^x=- 2^x·(5 + 1)=- 2^x·6=- 2^x·(2·3) = - 3·2^(x + 1))

2^(x + 1)·(2^x - 3) ≥ 0

2^x - 3 ≥ 0 (i primo fattore è sempre positivo in senso stretto)

x ≥ LN(3)/LN(2) ossia x>=log(2,3)

Ciao Beppe,

Ti allego un secondo possible svolgimento dell'esercizio 811

Buona giornata. 

Stefano