[Risolto] disequazioni di secondo grado

@angela_chen

Ciao.

1/3·x·(2·x - 1) + 1/2·x·(1 + 2/3·x) - 4·(1 + x/24) + 6/√3 > 0

(2·x^2/3 - x/3) + (x^2/3 + x/2) - (x/6 + 4) + 6/√3 > 0

x^2 + 2·√3 - 4 > 0

Procediamo al calcolo delle radici dell'equazione associata:

Δ = b^2 - 4·a·c

Δ = - 4·a·c

Δ = - 4·(2·√3 - 4)

Δ = 16 - 8·√3= 2.143593539>0

Quindi 2 radici reali ed opposte fra loro.

Utililizzando la formula del radicale doppio, se le calcoli ottieni: x = 1 - √3 ∨ x = √3 - 1

La disequazione considerata, ammette come soluzione gli intervalli esterni alle radici dell'equazione associata: x < 1 - √3 ∨ x > √3 - 1

(1/3)x(2x-1) +(1/2)x(1+2x/3)-4(1+x/24)+6/√3 > 0

raccogliamo la x dai primi due addendi

x[(1/3)*(2x-1) +(1/2)(1+2x/3)]-4(1+x/24)+6/√3 > 0

x(2x/3-1/3+1/2+x/3) - 4 - x/6 + 2√3 > 0

x(x+1/6) - x/6 -4 +2√3 > 0

x² + x/6 - x/6 -4 + 2√3 > 0

x² -4 + 2√3 > 0

Le due radici del polinomio sono x = -√(4-2√3) V x = √(4-2√3)

gli insiemi delle soluzioni sono esterne alle due radici quindi

x <  -√(4-2√3) V x > √(4-2√3)

Io inizierei a moltiplicare termine a termine per 6*√3, e poi sviluppare, commutare, ridurre.
* (1/3)*x*(2*x - 1) + (1/2)*x*(1 + (2/3)*x) - 4*(1 + x/24) + 6/√3 > 0 ≡
≡ (6*√3)*(1/3)*x*(2*x - 1) + (6*√3)*(1/2)*x*(1 + (2/3)*x) - (6*√3)*4*(1 + x/24) + (6*√3)*6/√3 > (6*√3)*0 ≡
≡ (4*√3)*x^2 - (2*√3)*x + (2*√3)*x^2 + (3*√3)*x - (√3)*x - 24*√3 + 36 > 0 ≡
≡ (4*√3)*x^2 + (2*√3)*x^2 - (2*√3)*x + (3*√3)*x - (√3)*x - 24*√3 + 36 > 0 ≡
≡ (6*√3)*x^2 - 12*(2*√3 - 3) > 0
Dividendo la forma ridotta per il coefficiente direttore si ha
* (6*√3)*x^2 - 12*(2*√3 - 3) > 0 ≡
≡ x^2 + 2*(√3 - 2) > 0 ≡
≡ x^2 > 2*(2 - √3) ≡
≡ (x < - √(2*(2 - √3))) oppure (x > √(2*(2 - √3))) ≡
≡ (x < 1 - √3) oppure (x > √3 - 1) ~≡
~≡ (x < - 0.732) oppure (x > 0.732)
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F3%29*x*%282*x-1%29%2B%281%2F2%29*x*%281%2B%282%2F3%29*x%29-4*%281%2Bx%2F24%29%2B6%2F%E2%88%9A3%3E0