[Risolto] disequazioni con il piano cartesiano

@angela_chen

Di nuovo.

retta s: x - 2·y = 0------> y = x/2

Quindi un punto P che sta su questa retta ha coordinate: P(x.x/2)

F(-1,2)

PF=√((x + 1)^2 + (x/2 - 2)^2) = √((x^2 + 2·x + 1) + (x^2/4 - 2·x + 4))=

=√(5·x^2/4 + 5)

Per la distanza di O dalla retta s:

d = PH = ABS(1·x + 1·x/2)/√(1^2 + 1^2)

PH= 3·√2·ABS(x)/4

L'equazione da applicare è: PF+√2*PH=4

√(5·x^2/4 + 5) + √2·3·√2·ABS(x)/4 = 4

(√(5·x^2/4 + 5) + √2·3·√2·ABS(x)/4 = 4)·4

6·ABS(x) + 2·√5·√(x^2 + 4) = 16

Avendo P ordinata positiva (lo dice il testo del problema)

6·x + 2·√5·√(x^2 + 4) = 16------> 2·√5·√(x^2 + 4) =16 -6·x

√5·√(x^2 + 4) = 8 - 3·x

Elevo al quadrato:

5·(x^2 + 4) = (3·x - 8)^2

Risolvo ed ottengo:

x = 11 ∨ x = 1

La prima è radice estranea:

2·√5·√(11^2 + 4) = 16 - 6·11------> 50 = -50 NO!

va bene la seconda

2·√5·√(1^2 + 4) = 16 - 6·1---------> 10 = 10 OK!

P(1,1/2)

E' semplice :il punto P é su s, x - 2y = 0 => y = x/2

P = (x; x/2) con x/2 > 0 => x > 0

PF = sqrt [ (x + 1)^2 + (x/2 - 2)^2 ] = sqrt [ x^2 + 2x + 1 + x^2/4 - 2x + 4 ] =

= sqrt (5/4 x^2 + 5)

PH = |x + x/2|/sqrt(1 + 1) = 3|x|/(2 sqrt(2))

ed essendo x > 0    sqrt(2) PH = 3x/2

Pertanto la condizione richiesta si scrive

sqrt ( 5/4 x^2 + 5) + 3x/2 = 4

sqrt (5/4 x^2 + 5) = 4 - 3x/2

con 4 - 3x/2 >= 0 => 3/2 x <= 4 =>  x <= 8/3.

Quadrando

5/4 x^2 + 5 = 16 - 12x + 9/4 x^2

Traslando e riducendo

x^2 - 12x + 11 = 0

scomponendo

(x - 1)(x - 11) = 0

Solo x = 1 é accettabile perché minore di 8/3

Così xP = 1 e yP = 1/2

CHE STRANO CHE TU DICA "non so come risolverlo": COME TUTTI GLI ALTRI!
Basta RAMMENTARE LE DEFINIZIONI,
applicarle per PRODURRE UN MODELLO MATEMATICO del problema,
manipolare il modello fino a ISOLARE QUANTO RICHIESTO.
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Sono dati due rette (r, s) e un punto (F):
* r ≡ x + y = 0 ≡ y = - x
* s ≡ x - 2*y = 0 ≡ y = x/2
* F(- 1, 2)
e si chiede di determinare, se esistono, i punti P(x, x/2) con x/2 > 0 tali che
* (|PF| + (√2)*|Pr| = 4) & (x/2 > 0)
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Le DEFINIZIONI da rammentare sono solo due: le distanze punto-punto e punto-retta.
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La distanza fra due dati punti A(a, p) e B(b, q) è
* d(a, b, p, q) = √((a - b)^2 + (p - q)^2)
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Si produce il MODELLO MATEMATICO del problema con
* |PF| = √((x - (- 1))^2 + (x/2 - 2)^2) = √(5*(x^2 + 4))/2
* |Pr| = |((- 1)*x + 0 - x/2)|/√((- 1)^2 + 1) = (3*√2/4)*|x|
* (|PF| + (√2)*|Pr| = 4) & (x/2 > 0) ≡
≡ (√(5*(x^2 + 4))/2 + (√2)*(3*√2/4)*|x| = 4) & (x > 0) ≡
≡ (√(x^2 + 4) = 8/√5 - (3/√5)*x) & (x > 0) ≡
≡ (x^2 + 4 = (8/√5 - (3/√5)*x)^2) & (x > 0) ≡
≡ (x^2 + 4 - (8/√5 - (3/√5)*x)^2 = 0) & (x > 0) ≡
≡ (x^2 - 12*x + 11 = 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x = 1) oppure (x = 11)) & (x > 0) ≡
≡ (x = 1) oppure (x = 11)
VERIFICHE anti spurie da quadratura
* √(5*(1^2 + 4))/2 + (√2)*(3*√2/4)*|1| = 4 OK
* √(5*(11^2 + 4))/2 + (√2)*(3*√2/4)*|11| = 29 != 4 11 è RADICE SPURIA
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RISULTATO: P(1, 1/2)