disequazioni con funzioni inverse

Prima di procedere ricordiamo alcune proprietà delle funzioni inverse interessate.

• Dominio arcsin x = [-1, 1]
• arcosin x è positivo in (0, +1]
• arcsin x è nullo per x = 0
• arctan x è positivo per x > 0
• arctan x è nullo per x = 0

La disequazione data ha senso solo per x ≠ 0.

Consideriamo due casi:

1° - Se arcsin(2-x) > 0 cioè x < 2 allora, per verificare la disequazione è sufficiente che

$ 4 arctan x - \pi \gt 0 \; ⇒ \; arctan x \gt \frac{\pi}{4} \; ⇒ \; x \gt 1 $

Il risultato di questo primo caso è  1 < x < 2

2° - Se arcsin(2-x) < 0 cioè x > 2 allora, per verificare la disequazione è necessario che

$ 4 arctan x - \pi \lt 0 \; ⇒ \; arctan x \lt \frac{\pi}{4} \; ⇒ \; x \lt 1 $

Impossibile. Il risultato di questo secondo caso è  chiaramente l'insieme vuoto Ø.

Il risultato della disequazione è quindi 1 < x < 2.