Disequazioni

Risolvi separatamente e intersechi le soluzioni.
* (16 - x^4 > 0) & (1/(x^3 + 1) - 3 <= 0) & (x^3 + 1 != 0) ≡
≡ (x^4 < 2^4) & (1/(x^3 + 1) <= 3) & (x != - 1) ≡
≡ (- 2 < x < 2) & ((x^3 + 1 < 0) oppure (x^3 + 1 >= 1/3)) & (x != - 1) ≡
≡ (- 2 < x < 2) & (x != - 1) & ((x < - 1) oppure (x >= - ∛(2/3) ~= - 0.87)) ≡
≡ (- 2 < x < 2) & (x != - 1) & (x < - 1) oppure (- 2 < x < 2) & (x != - 1) & (x >= - ∛(2/3) ~= - 0.87) ≡
≡ (- 2 < x < - 1) oppure (- ∛(2/3) <= x < 2)

a.   $16-x^4 \gt 0 $

$x^2 \lt 4 \quad \implies \quad -2 \lt x \lt 2 $

L'insieme delle soluzioni $ S_1 = (-2, +2)$

.

b.  $ \frac {1}{x^3+1} - 3 \le 0 $

$ \frac {-3x^3-2}{x^3+1}  \le 0 $

Consideriamo due casi

i)

x^3+1 > 0 cioè x > -1

$-3x^3-2 \le 0 \quad \implies \quad x^3 \ge -\frac{2}{3}$

in conclusione, questo caso è verificato per

$x \ge  -\sqrt[3]{\frac{2}{3}} $ ovvero $S_{2.1} = [- \sqrt[3]{\frac{2}{3}}, +\infty) $

ii)

x^3+1 < 0 cioè x < -1

$-3x^3-2 \ge 0 \quad \implies \quad x \le -\sqrt[3]{\frac{2}{3}} $

$x \lt -1$   ovvero   $ S_{2.2} = (-∞, -1)$ 

L'insieme delle soluzioni della seconda disequazione $S_2$ sarà l'unione dei due insiemi

$ S_2 = S_{2.1} \, U \, S_{2.2}$  = (-∞, -1)   U   [$- \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$, +∞)  

 .

c.  La soluzione del sistema sarà data dall'intersezione dell'insieme $S_1$ e $S_2$ 

$ S = S_1 \cap S_2$ = (-2, -1) U [$- \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$, 2)