Disequazioni

\[\frac{x^2 - 4x}{(3 - x) (x^2 + x + 2)} = k \in \mathbb{R} \quad \forall x \neq 3 \quad \text{tale che}\]

\[\frac{x^2 - 4x}{(3 - x) (x^2 + x + 2)} = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \cap \{0,4\}\,.\]

Considerando separatamente numeratore e denominatore:

\[x^2 - 4x < 0 \quad \forall x \in ]0,4[ \implies x^2 - 4x > 0 \quad \forall x \in ]-\infty,0[ \cup ]4,\infty[\,.\]

\[(3 - x) (x^2 + x + 2) < 0 \quad \forall x > 3 \implies (3 - x) (x^2 + x + 2) > 0 \quad \forall x < 3\,.\]

Facendo il prodotto dei segni, è possibile determinare gli intervalli topologici in cui la funzione è minore o uguale a zero. 

(x^2 - 4·x)/((3 - x)·(x^2 + x + 2)) ≤ 0

x^2 + x + 2 > 0---> true

fattore ininfluente per il segno. La disequazione equivale a:

(x^2 - 4·x)/(3 - x) ≤ 0

Segno N(x):

x^2 - 4·x ≥ 0---> x ≤ 0 ∨ x ≥ 4

++++[0]----------------[4]+++++++>x

Segno D(x):

3 - x > 0---> x < 3

+++++++++(3)--------------------->x

Segno rapporto:

++++[0]-----(3)+++[4]------------>x

Soluzione disequazione:

0 ≤ x < 3 ∨ x ≥ 4