[Risolto] Disequazioni

DISEQUAZIONI RAZIONALI INTERE
Sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare, commutare, ridurre; dividere membro a membro per il coefficiente direttore (se negativo, rovesciare l'eventuale diseguaglianza d'ordine); fattorizzare; eliminare ogni eventuale fattore che non influisca sul segno (positivo ovunque). I fattori che rimangono individuano gli zeri che partizionano l'asse x, e il segno si studia negl'intervalli così delimitati.
Inoltre, per risolvere le dis/equazioni "prodotto relazione zero" ≡ "P OP 0", si rammentino le regole:
a) P < 0 se e solo se è < 0 un NUMERO DISPARI di fattori e nessuno è zero;
b) P = 0 se e solo se è = 0 ALMENO un fattore;
c) P > 0 se e solo se è < 0 un NUMERO PARI (anche zero) di fattori e nessuno è zero.
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421) 9*x^2 - 4 >= (1/2)*x*(9*x^2 - 4) ≡
≡ 9*x^2 - 4 - ((1/2)*x*(9*x^2 - 4)) >= 0 ≡
≡ (- 9/2)*x^3 + 9*x^2 + 2*x - 4 >= 0 ≡
≡ x^3 - 2*x^2 - 4*x/9 + 8/9 <= 0 ≡
≡ P(x) = (x + 2/3)*(x - 2/3)*(x - 2) <= 0
I tre zeri sono tutt'e tre semplici quindi il segno alterna fra intervalli adiacenti
1) x < - 2/3: P < 0
2) x = - 2/3: P = 0
3) - 2/3 < x < 2/3: P > 0
4) x = 2/3: P = 0
5) 2/3 < x < 2: P < 0
6) x = 2: P = 0
7) x > 2: P > 0
dove, per decidere i segni, ho valutato solo P(0) = 8/9 > 0 per l'intervallo tre in cui cade x = 0; per gli altri ho alternato.
CONCLUSIONE
421) 9*x^2 - 4 >= (1/2)*x*(9*x^2 - 4) ≡
≡ (x <= - 2/3) oppure (2/3 <= x <= 2)