[Risolto] Disequazione logaritmica n. 675 e suo tentativo di soluzione

675) 3*log(2, 2*x - 4) - log(2, 3 - x) > 2*log(2, x - 5) ≡
≡ log(2, (2*x - 4)^3/(3 - x)) > 2*log(2, x - 5)
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La presenza dell'operatore relazionale ">" impone la realtà dei due membri, cioè
* ((2*x - 4)^3/(3 - x) > 0) & (x - 5 > 0) ≡
≡ (- 8*(x^2 - 3*x + 3) > 8/(x - 3)) & (x > 5) ≡
≡ (2 < x < 3) & (x > 5) ≡
≡ (insieme vuoto)
Se non esiste alcun valore di x per cui i due membri siano entrambi reali, visto che non possono esistere logaritmi immaginarii, vuol dire che almeno uno dei due membri è complesso e che pertanto l'operatore d'ordine stretto perde significato.
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ALTERNATIVAMENTE
675) 3*log(2, 2*x - 4) - log(2, 3 - x) > 2*log(2, x - 5) ≡
≡ 3*log(2, 2*x - 4) - log(2, 3 - x) - 2*log(2, x - 5) > 0 ≡
≡ log(2, (2*x - 4)^3) - (log(2, 3 - x) + log(2, (x - 5)^2)) > 0 ≡
≡ log(2, (2*x - 4)^3/((3 - x)*(x - 5)^2)) > 0 ≡
≡ (2*x - 4)^3/((3 - x)*(x - 5)^2) > 1 ≡
≡ ((2*x - 4)^3)*(3 - x)*(x - 5)^2 - 1 > 0 ~≡
~≡ 2.29 < x < 2.97
e quest'intervallo, pur compatibile con la realtà del primo membro, non lo è con quella del secondo.

@beppe

Ciao Beppe,

Per come hai scritto le condizioni di esistenza in R

{x>2

{x<3

{(x-5)² > 0

avresti dovuto scrivere: C. E= {2 < x < 3}  (infatti la terza disequazione è sempre verificata se x≠5) 

Le condizioni di esistenza devi metterle subito sulla disequazione fornita dal testo.

Infatti la proprietà dei logaritmi che hai applicato subito dopo, permette di scrivere:

2*log(2, x-5) = log[2, (x-5)²]   se x>5

@beppe 

Ciao di nuovo. Ti perdi sempre in un bicchier d'acqua: la prima cosa che devi fare con le equazioni e/o disequazioni logaritmiche è il calcolo delle C.E. che in questo caso si scrivono:

{2·x - 4 > 0

{-x + 3 > 0

{x - 5 > 0

da cui ti accorgi subito che hai un insieme vuoto (sistema impossibile)