[Risolto] Disequazione irrazionale n. 816

√(x^2 - 4·x) > 1/2·x - 6

Ci si riporta alla risoluzione di due sistemi di disequazioni intere di cui tu dovrai poi fare l'unione delle due soluzioni ottenute. Si parte dal principio che se esiste il radicale non può essere negativo: quindi il secondo membro può essere: Non negativo oppure negativo.

Se Non negativo:

{1/2·x - 6 ≥ 0

{x^2 - 4·x > (1/2·x - 6)^2

che forniscono le soluzioni:

{x ≥ 12

{x < - 8·√7/3 - 4/3 ∨ x > 8·√7/3 - 4/3

quindi soluzione del primo sistema:

[x ≥ 12]

Se negativo devi mettere a sistema:

{1/2·x - 6 < 0

{x^2 - 4·x ≥ 0

che forniscono le soluzioni:

{x < 12

{x ≤ 0 ∨ x ≥ 4

quindi soluzione del sistema:

[x ≤ 0, 4 ≤ x < 12]

Adesso devi unire queste due soluzioni (o possibilità):

(x ≥ 12 ∨ x ≤ 0 ∨ 4 ≤ x < 12) = (x ≤ 0 ∨ x ≥ 4)

in grassetto la soluzione della disequazione proposta.

CE

x^2 - 4x >= 0

x <= 0 V x >= 4

Se x <= 0 la disequazione é automaticamente verificata

perché a destra c'é un numero negativo e a sinistra il radicale che é positivo

Se x >= 4 la stessa considerazione continua a valere fino a x = 12

Per x > 12

2 rad (x^2 - 4x) > x - 12

4(x^2 - 4x) > x^2 - 24x + 144

4x^2 - x^2 - 16x + 24x - 144 >= 0

3x^2 + 8x - 144 >= 0

x = (-4 +- rad(16 + 432))/3

x <= (-4 - rad(448))/3 V (-4 + rad(448))/4 = 5.722

é sempre verificata per x > 12

Conclusione.

La disequazione proposta ha per insieme soluzione il suo intero insieme di

esistenza S = ]-oo, 0] U [4, +oo[.

La diseguaglianza d'ordine stretto impone la realtà dei due membri.
Il primo membro, immaginario per 0 < x < 4, è la metà nel semipiano y > 0 di un'iperbole centrata in (2, 0) e con vertici-zeri in (0, 0) e in (4, 0).
Il secondo membro, reale ovunque, è la retta congiungente (0, - 6) e (12, 0) soggiacente ovunque al primo membro nel suo insieme di realtà sia per x <= 0 dove le pendenze sono di segno opposto che per x >= 4 dove, pur con pendenze concordi, i grafici non s'intersecano (l'equazione associata non ha radici reali).
Ovviamente la disequazione è priva di senso in 0 < x < 4, fra i vertici dell'iperbole dove il confronto dovrebb'essere fra un reale e un immaginario.
Quindi la disequazione è definita e vera sia per x <= 0 che per x >= 4.