Buona giornata a tutti; vado a pubblicare la seguente disequazione per la quale chiedo il vostro aiuto. Ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi.
Buona giornata a tutti; vado a pubblicare la seguente disequazione per la quale chiedo il vostro aiuto. Ringrazio anticipatamente chi vorrà rispondermi.
(√(x + 1) - 1)/(√(x^2 + 1) - 1) ≤ 0
studiamo il segno del denominatore. Innanzi tutto:
√(x^2 + 1) - 1 ≠ 0
Quindi esaminiamo:
√(x^2 + 1) - 1 > 0
che risulta sempre vera purché sia x ≠ 0
D(x):
+++++++++(0)+++++++++>x
Passiamo al segno del numeratore
√(x + 1) - 1 ≥ 0
deve essere assicurata l'esistenza della radice: quindi
x + 1 ≥ 0-----> x ≥ -1
Se questa relazione è verificata, è verificato pure il fatto.
x + 1 ≥ 1----> x ≥ 0
N(x):
[-1]--------(0)+++++++++++>x
Applicando la regola dei segni:
[-1]--------(0)+++++++++++>x
Quindi la soluzione che rende NON POSITIVO il rapporto è:
-1 ≤ x < 0
\[\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \leq 0\]
\[\sqrt{x + 1} - 1 \leq 0 \iff x + 1 \leq 1 \iff x \leq 0 \land x \geq -1 \implies -1 \leq x \leq 0\]
\[\nexists x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{x^2 + 1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x^2 + 1} - 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \land \sqrt{x^2 + 1} - 1 \neq 0 \iff x \neq 0\,.\]
Allora, per prodotto dei segni
\[\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \leq 0 \iff -1 \leq x < 0\,.\]
Ciao ti ringrazio per la chiara e sollecita risposta. Buon pomeriggio
Il campo di esistenza é dato da x + 1 >= 0 => x >= -1
Il denominatore é sempre positivo tranne che per x = 0
che va escluso dall'insieme soluzione
N <= 0
rad(x+1) <= 1
x + 1 <= 1
x <= 0
Quindi
{ x >= -1
{ x <= 0
{ x =/= 0
si compendia in
S : -1 <= x < 0