Disequazione irrazionale fratta con radicale al denominatore

(√(x + 1) - 1)/(√(x^2 + 1) - 1) ≤ 0

studiamo il segno del denominatore. Innanzi tutto:

√(x^2 + 1) - 1 ≠ 0

Quindi esaminiamo:

√(x^2 + 1) - 1 > 0

che risulta sempre vera purché sia x ≠ 0

D(x):

+++++++++(0)+++++++++>x

Passiamo al segno del numeratore

√(x + 1) - 1 ≥ 0

deve essere assicurata l'esistenza della radice: quindi 

x + 1 ≥ 0-----> x ≥ -1

Se questa relazione è verificata, è verificato pure il fatto.

x + 1 ≥ 1----> x ≥ 0

N(x):

[-1]--------(0)+++++++++++>x

Applicando la regola dei segni:

[-1]--------(0)+++++++++++>x

Quindi la soluzione che rende NON POSITIVO il rapporto è:

-1 ≤ x < 0

\[\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \leq 0\]

\[\sqrt{x + 1} - 1 \leq 0 \iff x + 1 \leq 1 \iff x \leq 0 \land x \geq -1 \implies -1 \leq x \leq 0\]

\[\nexists x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{x^2 + 1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x^2 + 1} - 1 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \land \sqrt{x^2 + 1} - 1 \neq 0 \iff x \neq 0\,.\]

Allora, per prodotto dei segni

\[\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - 1} \leq 0 \iff -1 \leq x < 0\,.\] 

Il campo di esistenza é dato da x + 1 >= 0 => x >= -1

Il denominatore é sempre positivo tranne che per x = 0

che va escluso dall'insieme soluzione

N <= 0

rad(x+1) <= 1

x + 1 <= 1

x <= 0

Quindi

{ x >= -1

{ x <= 0

{ x =/= 0

si compendia in

S : -1 <= x < 0