Disequazione irrazionale e con valori assoluti n. 815

Ciao @beppe

(ABS(3 - 2·x) + ABS(4·x + 1))/(x + 2)^(1/3) ≤ 0

Al denominatore compare una radice cubica per cui il suo segno segue il radicando (cioè in definitiva tale radice è superflua in termini del suo segno)

I valori assoluti si devono liberare:

ABS(3 - 2·x) = 3 - 2·x

se 3 - 2·x ≥ 0---> x ≤ 3/2

ABS(3 - 2·x) = 2·x - 3 se x > 3/2

ABS(4·x + 1) = 4·x + 1 se x ≥ - 1/4

ABS(4·x + 1) = - (4·x + 1) se x < -1/4

 Quindi in base a quanto ho detto devi risolvere 3 sistemi (che rappresentano queste possibilità) e poi fare l'UNIONE delle 3 soluzioni.

1° SISTEMA

{x < - 1/4

{((3 - 2·x) - (4·x + 1))/(x + 2) ≤ 0

2° SISTEMA

{- 1/4 ≤ x ≤ 3/2

{((3 - 2·x) + (4·x + 1))/(x + 2) ≤ 0

3° SISTEMA

{x > 3/2

{((2·x - 3) + (4·x + 1))/(x + 2) ≤ 0

Risolviamoli!

{(3·x - 1)/(x + 2) ≥ 0

{x < - 1/4

---------------------

{x < -2 ∨ x ≥ 1/3

{x < - 1/4

la soluzione è: [x < -2]

Passiamo al secondo:

{2 ≤ 0 così viene la prima disequazione semplificata: IMPOSSIBILE

{- 1/4 ≤ x ≤ 3/2

Quindi IMPOSSIBILE è il sistema in quanto lo è una disequazione

-------------------------------

Il terzo:

{2·(3·x - 1)/(x + 2) ≤ 0

{x > 3/2

-----------

{-2 < x ≤ 1/3

{x > 3/2

IMPOSSIBILE pure il terzo. Ne consegue che la soluzione finale per quanto detto è data dalla soluzione del primo sistema: [x < -2]

\[\nexists x \in \mathbb{R} \mid \left|3 -2x\right| + \left|4x + 1\right| < 0\,.\]

\[\left|3 - 2x\right| + \left|4x + 1\right| = 0 \iff 3 - 2x + 4x + 1 = 0 \iff x = -2\,.\]

Poiché

\[-\frac{1}{4} < x < \frac{3}{2} \land x \neq -2 \implies x = - 2\quad \text{non e' accettabile}\,.\]

Analogamente per

\[\left|3 -2x\right| \mid 3 -2x < 0  \quad \text{e} \quad \left|4x + 1\right| \mid 4x + 1 < 0\,.\]

Dunque

\[\frac{\left|3 - 2x\right| + \left|4x + 1\right|}{\sqrt[3]{x + 2}} < 0 \iff \sqrt[3]{x + 2} < 0 \iff x < - 2\,.\]

Il numeratore é sempre non negativo.

Il denominatore, essendo la radice cubica (indice dispari) lo é dove lo é il radicando

x + 2 > 0

x > -2 e questa é la soluzione

Ripassino
Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0,
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
cioè
esclusi i valori che annullano il denominatore, la frazione è zero per i valori che annullano il numeratore ed ha l'uno o l'altro segno secondo che numeratore e denominatore siano concordi o discordi.
Esercizio 815
* (|3 - 2*x| + |4*x + 1|)/∛(x + 2) <= 0
denominatore
* D(x) = ∛(x + 2)
** x < - 2: D(x) < 0; x = - 2: D(x) = 0; x > - 2: D(x) > 0
numeratore
* N(x) = |3 - 2*x| + |4*x + 1| >= N(- 1/4) = 7/2
** ∄ x ∈ R: N(x) < 0; ∄ x ∈ R: N(x) = 0; ∀ x ∈ R: N(x) > 0
frazione
* f(x) <= 0 ≡ D(x) < 0 ≡ x < - 2
che è proprio il risultato atteso.