Buona giornata a tutti; chiedo il vostro aiuto per la soluzione della disequazione irrazionale n. 833 contenente anche dei valori assoluti. Per favore, se possibile, gradirei la spiegazione di ciascun passaggio. Ringrazio anticipatamente coloro che vorranno rispondermi.
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Livello 1
\[\sqrt{\left|x + \frac{4}{x}\right|} \Bigg| x \neq 0 \geq \left|x\right| \iff \left|x + \frac{4}{x}\right| \geq x^2 \iff x^2 + 4 \geq x^2|x|\,.\]
Per $|x| \mid x>0$
\[x^2 + 4 \geq x^3 \iff x^3 - x^2 - 4 \leq 0 \iff (x - 2)(x^2 + x + 2) \leq 0 \iff x \leq 2\]
\[x^2 + x + 2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\,.\]
Per $|x| \mid x<0$ si ha, similmente, $x > -2$; quindi
\[x \leq 2 \lor x \geq -2 \implies -2 \leq x \leq 2 \mid x \neq 0\,.\]
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Livello 5
Ciao grazie per la tua risposta. Ho capito tutto bene. Sei molto lineare e chiaro nell'esposizione del procedimento. Buon pomeriggio.
Il primo membro, √(|x + 4/x|), è definito per x != 0 ed ha il minimo eguale a due in x = ± 2; pertanto la disequazione è vera per |x| <= 2, cioè per - 2 <= x <= 2.
Spiegazione di ciascun passaggio
Stante la particolare forma della disequazione
833) √(|x + 4/x|) >= |x|
per risolverla (NON per scioglierla!) non occorrono i passaggi delle procedure risolutive delle disequazioni con moduli e/o con radicali che, in questi anni, ho già avuto modo di illustrarti.
Rammentando la forma del grafico di y = |x| (la V delle semidiagonali dei quadranti nel semipiano y >= 0) si sa che qualunque funzione di cui serva sapere dov'è che è " >= |x|" lo è fra le intersezioni con quel grafico.
Perciò tutt'è vedere che cosa sia rappresentata dal primo membro.
* y = x + 4/x
è un'iperbole giacente nei quadranti dispari con estremi y = ± 4 in x = ± 2; il suo modulo
* y = |x + 4/x|
è lo stesso ramo nel quadrante I e la riflessione nel quadrante II del ramo nel quadrante III, quindi con due minimi simmetrici in (± 2, 4); e la sua radice quadrata
* y = √(|x + 4/x|)
tira giù i due minimi simmetrici in (± 2, 2).
E ciò è quanto occorre alla conclusione.
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Genius I
Ciao come sempre ti ringrazio molto per la risposta e la relativa spiegazione. Auguro a te e famiglia una buona serata
La C.E. del radicale é sempre verificata con x =/= 0
A sinistra e a destra abbiamo espressioni non negative per cui
passando ai quadrati la disuguaglianza é equivalente ed equiversa
| x + 4/x | >= x^2
|(x^2 + 4)/x| >= x^2
(x^2 + 4)/|x| >= x^2
e posto |x| = t
(t^2 + 4)/t >= t^2
t^3 - t^2 - 4 <= 0 con t > 0
Applicando la regola di Ruffini
e il principio di identità dei polinomi
(t - 2) (t^2 + at + 2) <= 0
t^3 + at^2 + 2t - 2t^2 - 2at - 4 <= 0
con
a - 2 = - 1
2 - 2a = 0
che sono entrambe verificate per a = 1
(t - 2) (t^2 + t + 2) <= 0
il secondo fattore ha delta negativo per cui é sempre positivo
allora t - 2 <= 0
t <= 2
che significa | x| <= 2 con x =/= 0
per cui concludiamo che risulta
S) = [-2,0[ U ]0,2]
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Livello 7
Ciao grazie per la celere risposta. Fino al punto t^3 - t^2 - 4 minore o uguale a 0 è tutto ok. Dopo non riesco a capire bene la scomposizione del trinomio in (t-2)(t^2 + at +2) minore o uguale a 0? Cos'è a? E anche a-2 = -1 / 2-2a = 0 ?????? Per favore, quando e se puoi, fammi capire meglio. Ancora grazie per tutto.
Una volta accertato che t = 2 é una radice ( teorema del resto ) puoi evitare il mio metodo facendo direttamente la divisione dei polinomi. Per me riportare lo schema di Ruffini a schermo é FATICOSO, e quindi ho preferito usare il principio di identità dei polinomi.
Se considero il quoziente esso é del tipo bt^2 + at + c in cui perà si sa già che b deve essere 1
perché bt^2 * t = bt^3 e il coefficiente di t^3 é 1
analogamente c deve essere 2 perché -2 *c = -4
Invece a é incognito e me lo ricavo imponendo che il prodotto sia uguale, termine a termine, al polinomio da scomporre.
Ok grazie ora è tutto chiaro. Ciao
