[Risolto] Disequazione irrazionale con valore assoluto n. 853

Cubando ambo i membri

$|x+1|^3 < x^3+1$

Eliminiamo il valore assoluto considerando due casi

• Se x ≤ -1

allora l'argomento del valore assoluto è negativo quindi

$ -(x+1)^3 < (x+1)(x^2-x+1)$

semplifico per (x+1) che risulta essere un termine negativo quindi devo cambiare verso alla disequazione

$ -(x+1)^2 > x^2-x+1$

$-x^2-2x-1 > x^2-x+1$

$2x^2+x+2 < 0 $ Nessuna soluzione.

• Se x > -1

$(x+1)^3 < x^3+1$

$x^3+3x^2+3x+1 < x^3 +1$

$3x(x+1) < 0$

L'insieme delle soluzioni è (-1,0) cioè 

-1 < x < 0

| x + 1 | < rad_3(x^3 + 1)

Poiché il valore assoluto é non negativo e la disuguaglianza é stretta

deve essere x^3 + 1 > 0 => x + 1 > 0 => x > -1

Quindi

x + 1 < rad^3 (x^3 + 1)

(x + 1)^3 < x^3 + 1

(x + 1)^3 < (x + 1)(x^2 - x + 1)

(x + 1)^2 < x^2 - x + 1

essendo per quanto detto x + 1 > 0

( si toglie il valore assoluto ed ora possiamo dividere )

x^2 + 2x + 1 - x^2 + x - 1 < 0

2x + x < 0

3x < 0

x < 0

e infine -1 < x < 0

Se il primo membro è non negativo allora il secondo dev'essere positivo (e quindi reale); ma, se la sola radice cubica reale dev'essere positiva, allora dev'esserlo il radicando.
* x^3 + 1 > 0 ≡ x > - 1
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Per x > - 1 si ha x + 1 > 0
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Quindi
853) |x + 1| < ∛(x^3 + 1) ≡
≡ (x + 1)^3 - (x^3 + 1) < 0 ≡
≡ 3*x*(x + 1) < 0 ≡
≡ - 1 < x < 0