Come si risolve lo studio del numeratore? dal momento che il denominatore non bisogna studiarlo perché è sempre una quantità positiva?
Come si risolve lo studio del numeratore? dal momento che il denominatore non bisogna studiarlo perché è sempre una quantità positiva?
Assolutamente no, puoi anche decidere di non rispondere o rispondere più tardi, volevo solo chiarire alcuni dubbi 🙂
Nella disequazione
* (√(x^2 - 1) - x - 2)/(|x - 1|) < 0
la diseguaglianza d'ordine impone che il primo membro, oltre che definito (x != 1), sia anche reale (|x| >= 1); quindi
* (|x| >= 1) & (x != 1) ≡ (|x| > 1)
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Moltiplicare membro a membro per una quantità positiva non muta la diseguaglianza, quindi
* (√(x^2 - 1) - x - 2)/(|x - 1|) < 0 ≡
≡ (|x| > 1) & (√(x^2 - 1) - x - 2 < 0) ≡
≡ (√(x^2 - 1) < x + 2) & (|x| > 1)
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Quadrare membro a membro può introdurre soluzioni spurie, da escludere dal risultato.
* (√(x^2 - 1) < x + 2) & (|x| > 1) ≡
≡ (x^2 - 1 < (x + 2)^2) & (|x| > 1) ≡
≡ (x^2 - 1 - (x + 2)^2 < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ (- (4*x + 5) < 0) & (|x| > 1) ≡
≡ (x > - 5/4) & ((x < 1) oppure (x > 1)) ≡
≡ (x > - 5/4) & (x < 1) oppure (x > - 5/4) & (x > 1) ≡
≡ (5/4 < x < 1) oppure (x > 1)
e qui c'è poco da escludere!
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CONTROPROVA al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28%E2%88%9A%28x%5E2-1%29-x-2%29%2F%28%7Cx-1%7C%29%3C0+for+x+real
L'unica traccia che rimane del denominatore é x =/= 1
N < 0 si scrive in forma normale rad(x^2 - 1) < x + 2
ed equivale al sistema
{ x^2 - 1 >= 0 condizione di esistenza
{ x + 2 > 0 condizione di positività
{ x^2 - 1 < x^2 + 4x + 4 confronto di quadrati
a cui aggiungiamo : x =/= 1
Risulta
{ x <= -1 V x > 1
{ x > -2
{ -4x < 5 => x > -5/4
e quindi -5/4 < x <= -1 V x > 1
Devi stare attento che il modulo si libera dando origine a due disequazioni irrazionali fratte.