[Risolto] Disequazione Goniometrica con metodo grafico

Risolvo per comodità in $[0,2\pi]$.

Per utilizzare il metodo grafico, consideriamo la sostituzione:

$ X = cosx$

$ Y = sinx$

e mettiamo a sistema l'equazione sostituita con la circonferenza goniometrica. Per comodità conviene trasformare la disequazione in equazione nel sistema:

{$3Y-\sqrt{3}X = 0$

{$X^2+Y^2=1$

Dalla prima ricavo la Y e la sostituisco nella seconda:

{$Y =  \frac{\sqrt{3}}{3}X$

{$X^2 + \frac{1}{3}X^2 = 1$

otteniamo dunque:

{$Y= \pm\frac{1}{2}$

{$X=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dalle soluzioni trovare ricaviamo gli angoli corrispondenti:

$(cosx, sinx)=(+\sqrt{3}/2, +1/2)$ -> $x = \frac{\pi}{6}=30°$

$(cosx, sinx)=(-\sqrt{3}/2, -1/2)$ -> $x = \frac{7}{6}\pi=210°$

Ora ricordiamo che la nostra disequazione era:

$3Y-\sqrt{3}X \leq 0$

e cioé in forma esplicita:

$Y \leq \sqrt{3}/3 X$

che è proprio la retta passante per gli angoli 30° e 210° individuati.

Poiché la disequazione è "$\leq$", andiamo a considerare la porzione di circonferenza al di sotto della retta e cioè quella che va da:

$0\leq x\leq30 \vee 210\leq x\leq360$

o in radianti

$0\leq x\leq \frac{\pi}{6} \vee \frac{7}{6}\pi \leq x \leq 2\pi$

Noemi