disequazione goniometrica

$ \frac {\sqrt{2} -2sinx}{2sinx \, cosx} + sec x - cosecx < 0 $

$ \frac {\sqrt{2}-2sinx}{2sinx \, cosx} + \frac{1}{cos x} - \frac{1}{sinx} < 0 $

$ \frac {\sqrt{2}-2sinx+2sinx -2cosx}{2sinx \, cosx} < 0 $ 

$ \frac {\sqrt{2} -2cosx}{sin(2x)} < 0 $ 

$ \frac {\sqrt{2}(1 -\sqrt{2} cosx)}{sin(2x)} < 0 $ 

Consideriamo due casi.

1. Se

$\sqrt{2} - 2cosx > 0 $ cioè $cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$   ovvero  $\frac{\pi}{4} < x < \frac{7\pi}{4}$

Allora

sin(2x) < 0  ⇒ x ∈ (π/2, π)    V  x ∈ (3π/2, 2π)

l'intersezione da come risultato   

• $ \frac{\pi}{2} < x < \pi $
• $ \frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4} $

2. Se invece 

$\sqrt{2} - 2cosx < 0 $  cioè $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$  ovvero  $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$

Allora

sin(2x) > 0  ⇒ x ∈ (0, π/2)    V  x ∈ (π, 3π/2)

l'intersezione da come risultato   

• $ 0 < x < \frac{\pi}{4} $