Disequazione fratta letterale

@mattia23

Ciao e benvenuto.

Con k<0 il numeratore N(x,k) = k·x^2 - 2  è sempre negativo: quindi il segno della frazione è determinato dal segno del denominatore. In tal caso la disequazione è verificata per:

(k·x^2 - 2)/(x^2 + (k - 2)·x - 2·k) > 0-------> x^2 + (k - 2)·x - 2·k < 0 che è equivalente a scrivere:

(x - 2)·(x + k) < 0

Segno 1° fattore:

x-2>0 se x>2        --------------(0)----------(2)+++++++++>x

Segno 2° fattore:

x+k>0 se x>-k    quindi -k è un numero positivo (essendo k<0). Abbiamo quindi 2 casi:

1° caso

 --------------(0)-------------(2)+++++++++>x

--------------------(-k)+++++++++++++++>x

+++++++++++(-k)-------(2)++++++++++>x

per   0<-k<2:    (x - 2)·(x + k) < 0 è soddisfatta per    -k<x<2

2° caso    

 --------------(0)-------------(2)+++++++++>x

--------------------------------------(-k)+++++>x

+++++++++++++++++(2)---(-k)++++++>x

per -k>2:      (x - 2)·(x + k) < 0 è soddisfatta per    2<x<-k 

SVOLGERE QUESTA DISEQUAZIONE
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Per ogni funzione fratta: f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0, si danno tre casi
1) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
2) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
3) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
NEL CASO IN ESAME
Per la funzione fratta
* f(x, k) = N(x, k)/D(x, k) = (k*x^2 - 2)/(x^2 + (k - 2)*x - 2*k)
si ha, secondo il parametro k,
* con k < - 2, f(x, k) > 0 per 2 < x < - k
* con k = - 2, f(x, k) = - 2*(x^2 + 1)/(x - 2)^2 < 0 per ogni x
* con - 2 < k < 0, f(x, k) > 0 per - k < x < 2
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SPIEGANDO I PASSAGGI
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Per esigenze dattilografiche la complessa espressione risolutiva
* ((D < 0) & (N < 0) & (k < 0)) oppure ((D > 0) & (N > 0) & (k < 0))
conviene svilupparla per subespressioni, dalle più brevi a crescere.
* (k*x^2 - 2 < 0) & (k < 0) ≡ k < 0 ≡ per ogni x
* (k*x^2 - 2 > 0) & (k < 0) ≡ Ø ≡ per nessun x
con ciò
* ((D < 0) & (N < 0) & (k < 0)) oppure ((D > 0) & (N > 0) & (k < 0)) ≡
≡ ((D < 0) & (vero) & (k < 0)) oppure ((D > 0) & Ø) ≡
≡ ((D < 0) & (k < 0)) oppure (Ø) ≡
≡ (x^2 + (k - 2)*x - 2*k < 0) & (k < 0)
dove il trinomio quadratico monico è negativo fra le radici, a condizione che esse siano reali e distinte cioè che sia
* Δ(k) = (k + 2)^2 > 0
ed è questa condizione ad escludere il valore k = - 2.
Il resto è algebretta: non c'è più nulla da capire, solo un po' di conti.