Buona serata a tutti; chiedo il vostro gentile aiuto per la soluzione della disequazione fratta con valori assoluti che vado a pubblicare. Chiedo per favore la spiegazione passaggio per passaggio. Ringrazio anticipatamente coloro che vorranno rispondermi. La soluzione è x minore di -3 oppure -3 minore di x minore di 5/2 oppure x maggiore di 8.
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Livello 1
ABS((2·x - 5)/(x + 3)) > (x + 3)/(2·x - 5)
Devi liberare il modulo al primo membro sapendo che esistono due possibilità:
a) il modulo si libera lasciando l'argomento che ne deriva se tale argomento non è negativo.
b) il modulo si libera cambiando il segno all'argomento se esso è negativo
Quindi ci si riporta alla risoluzione di due sistemi di cui poi tu dovrai fare l'unione delle due soluzioni.
ABS((2·x - 5)/(x + 3)) = (2·x - 5)/(x + 3)
(2·x - 5)/(x + 3) ≥ 0-----> x < -3 ∨ x ≥ 5/2
(2·x - 5)/(x + 3) < 0-----> -3 < x < 5/2
in tal caso:
ABS((2·x - 5)/(x + 3)) = (5 - 2·x)/(x + 3)
Quindi risolvi:
{(2·x - 5)/(x + 3) > (x + 3)/(2·x - 5)
{x < -3 ∨ x ≥ 5/2
sistema A ed ottieni:[x < -3, x > 8]
Poi risolvi il sistema B:
{(5 - 2·x)/(x + 3) > (x + 3)/(2·x - 5)
{ -3 < x < 5/2
ed ottieni: [-3 < x < 5/2]
Per quanto detto:
([x < -3, x > 8] ∨ [-3 < x < 5/2]) = ([x < -3, x > 8] ∨ [-3 < x < 5/2])
od anche:
(x ≠ -3 ∧ x < 5/2) ∨ x > 8
(che è lo stesso!!)
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Genius II
Ciao grazie per la risposta; ho ancora un dubbio in merito al sistema B; la prima disequazione di esso non dà impossibile in R come soluzione essendo impossibile il suo numeratore? Se così fosse, come può essere il risultato del sistema -3 minore di x minore di 5/2? Se mi fai la cortesia di spiegarmelo, te ne sarei grato. Il punto su cui mi sono arenato precedentemente è proprio quello. Grazie ancora per tutto e buona serata a te e famiglia
adesso mi sono infilato a letto. Se mi ricorderò domani ti fornirò risposta adeguata. Buonanotte.
Ok grazie buon riposo. Se me lo consenti, domani posso inviarti un semplice messaggio per ricordarti di rispondere al mio dubbio, che permane tuttora. Grazie ancora di tutto
Ciao buona giornata; se vuoi e puoi, ti chiedo gentilmente di spiegarmi la soluzione del sistema B. Attendo una tua risposta. Grazie
Voglio tentare un approccio alternativo
Pongo (2x - 5)/(x + 3) = t
|t| > 1/t
é sempre verificata per t < 0
perché a sinistra c'é un numero positivo e a destra uno negativo
da cui le soluzioni
(2x - 5)/(x + 3) < 0
-3 < x < 5/2
oppure t > 0 e t - 1/t > 0
(t^2 - 1)/t > 0
t^2 - 1 > 0 intervalli esterni
solo t > 1 é compatibile con t > 0
(2x - 5)/(x + 3) - 1 > 0
(2x - 5 - x - 3)/(x + 3) > 0
(x - 8)/(x + 3) > 0
intervalli esterni
x < -3 V x > 8
Merri tutto insieme e hai
S = ]-oo, -3[ U ]-3, 5/2[ U ]8, +oo[.
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Livello 7
Ciao grazie per la risposta; a dire la verità non ho capito bene questo procedimento. Potresti per favore, se vuoi e puoi, risolvere la disequazione con quello tradizionale? Ti ringrazio e auguro una buona giornata
Ho semplicemente notato che la quantità in valore assoluto é l'inverso di quella che sta a destra.
Ho quindi pensato di poter abbreviare i calcoli con un cambio di variabile.
Il metodo tradizionale é stato portato avanti egregiamente da Luciano.
Ciao sì, sono perfettamente d'accordo con te; Luciano ha risolto in maniera eccellente la disequazione seguendo il metodo tradizionale. Quello che non riesco a capire nel suo svolgimento è la soluzione del sistema B. A me i calcoli non combaciano. Se riesci a farmi comprendere come si svolge, te ne sarei grato. Ti auguro nuovamente una buona giornata
Buona serata anche a te, e te lo dico alle undici del giorno dopo!
La disequazione
* |(2*x - 5)/(x + 3)| > (x + 3)/(2*x - 5)
è definita per x ∉ {- 3, 5/2}.
Il primo membro, positivo per ogni x ∉ {- 3, 5/2}, ha un solo zero in x = 5/2 e asintoti x = - 3 e y = 2.
Il secondo membro è negativo per - 3 < x < 5/2 (un disgiunto della soluzione) e positivo per (x < - 3) oppure (x > 5/2), ha un solo zero in x = - 3 e asintoti x = 5/3 e y = 1/2.
Ovviamente l'argomento del primo membro ha gli stessi segni del secondo membro, salvo gli zeri.
Quindi per (x < - 3) oppure (x > 5/2)
* (2*x - 5)/(x + 3) > (x + 3)/(2*x - 5) ≡
≡ (x < - 3) oppure (2/3 < x < 5/2) oppure (x > 8)
e infine
* |(2*x - 5)/(x + 3)| > (x + 3)/(2*x - 5) ≡
≡ (x < - 3) oppure (- 3 < x < 5/2) oppure (2/3 < x < 5/2) oppure (x > 8) ≡
≡ (x < - 3) oppure (- 3 < x < 5/2) oppure (x > 8)
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
Ciao grazie per la risposta; ti auguro una buona giornata e buone vacanze
