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Disequazione fratta con valori assoluti.

  

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Buona serata a tutti; chiedo il vostro gentile aiuto per la soluzione della disequazione fratta con valori assoluti che vado a pubblicare. Chiedo per favore la spiegazione passaggio per passaggio. Ringrazio anticipatamente coloro che vorranno rispondermi. La soluzione è x minore di -3 oppure -3 minore di x minore di 5/2 oppure x maggiore di 8.

20240730 210202

 

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ABS((2·x - 5)/(x + 3)) > (x + 3)/(2·x - 5)

Devi liberare il modulo al primo membro sapendo che esistono due possibilità:

a) il modulo si libera lasciando l'argomento che ne deriva se tale argomento non è negativo.

b) il modulo si libera cambiando il segno all'argomento se esso è negativo

Quindi ci si riporta alla risoluzione di due sistemi di cui poi tu dovrai fare l'unione delle due soluzioni.

ABS((2·x - 5)/(x + 3)) = (2·x - 5)/(x + 3)

(2·x - 5)/(x + 3) ≥ 0-----> x < -3 ∨ x ≥ 5/2

(2·x - 5)/(x + 3) < 0-----> -3 < x < 5/2

in tal caso:

ABS((2·x - 5)/(x + 3)) = (5 - 2·x)/(x + 3)

Quindi risolvi:

{(2·x - 5)/(x + 3) > (x + 3)/(2·x - 5)

{x < -3 ∨ x ≥ 5/2

sistema A ed ottieni:[x < -3, x > 8]

Poi risolvi il sistema B:

{(5 - 2·x)/(x + 3) > (x + 3)/(2·x - 5)

{ -3 < x < 5/2

ed ottieni: [-3 < x < 5/2]

Per quanto detto:

([x < -3, x > 8] ∨ [-3 < x < 5/2]) = ([x < -3, x > 8] ∨ [-3 < x < 5/2])

od anche:

(x ≠ -3 ∧ x < 5/2) ∨ x > 8

(che è lo stesso!!)

@lucianop 

Ciao grazie per la risposta; ho ancora un dubbio in merito al sistema B; la prima disequazione di esso non dà impossibile in R come soluzione essendo impossibile il suo numeratore? Se così fosse, come può essere il risultato del sistema -3 minore di x minore di 5/2? Se mi fai la cortesia di spiegarmelo, te ne sarei grato. Il punto su cui mi sono arenato precedentemente è proprio quello. Grazie ancora per tutto e buona serata a te e famiglia

@beppe

adesso mi sono infilato a letto. Se mi ricorderò domani ti fornirò risposta adeguata. Buonanotte.

@lucianop 

Ok grazie buon riposo. Se me lo consenti, domani posso inviarti un semplice messaggio per ricordarti di rispondere al mio dubbio, che permane tuttora. Grazie ancora di tutto

@lucianop 

Ciao buona giornata; se vuoi e puoi, ti chiedo gentilmente di spiegarmi la soluzione del sistema B. Attendo una tua risposta. Grazie



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Voglio tentare un approccio alternativo

Pongo (2x - 5)/(x + 3) = t

|t| > 1/t

é sempre verificata per t < 0

perché a sinistra c'é un numero positivo e a destra uno negativo

da cui le soluzioni

(2x - 5)/(x + 3) < 0

-3 < x < 5/2

oppure t > 0 e t - 1/t > 0

(t^2 - 1)/t > 0

t^2 - 1 > 0 intervalli esterni

solo t > 1 é compatibile con t > 0

(2x - 5)/(x + 3) - 1 > 0

(2x - 5 - x - 3)/(x + 3) > 0

(x - 8)/(x + 3) > 0

intervalli esterni

x < -3 V x > 8

Merri tutto insieme e hai

S = ]-oo, -3[ U ]-3, 5/2[ U ]8, +oo[.

@eidosm 

Ciao grazie per la risposta; a dire la verità non ho capito bene questo procedimento. Potresti per favore, se vuoi e puoi, risolvere la disequazione con quello tradizionale? Ti ringrazio e auguro una buona giornata

Ho semplicemente notato che la quantità in valore assoluto é l'inverso di quella che sta a destra.

Ho quindi pensato di poter abbreviare i calcoli con un cambio di variabile.

Il metodo tradizionale é stato portato avanti egregiamente da Luciano.

@eidosm 

Ciao sì, sono perfettamente d'accordo con te; Luciano ha risolto in maniera eccellente la disequazione seguendo il metodo tradizionale. Quello che non riesco a capire nel suo svolgimento è la soluzione del sistema B. A me i calcoli non combaciano. Se riesci a farmi comprendere come si svolge, te ne sarei grato. Ti auguro nuovamente una buona giornata



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Buona serata anche a te, e te lo dico alle undici del giorno dopo!
La disequazione
* |(2*x - 5)/(x + 3)| > (x + 3)/(2*x - 5)
è definita per x ∉ {- 3, 5/2}.
Il primo membro, positivo per ogni x ∉ {- 3, 5/2}, ha un solo zero in x = 5/2 e asintoti x = - 3 e y = 2.
Il secondo membro è negativo per - 3 < x < 5/2 (un disgiunto della soluzione) e positivo per (x < - 3) oppure (x > 5/2), ha un solo zero in x = - 3 e asintoti x = 5/3 e y = 1/2.
Ovviamente l'argomento del primo membro ha gli stessi segni del secondo membro, salvo gli zeri.
Quindi per (x < - 3) oppure (x > 5/2)
* (2*x - 5)/(x + 3) > (x + 3)/(2*x - 5) ≡
≡ (x < - 3) oppure (2/3 < x < 5/2) oppure (x > 8)
e infine
* |(2*x - 5)/(x + 3)| > (x + 3)/(2*x - 5) ≡
≡ (x < - 3) oppure (- 3 < x < 5/2) oppure (2/3 < x < 5/2) oppure (x > 8) ≡
≡ (x < - 3) oppure (- 3 < x < 5/2) oppure (x > 8)
che è proprio il risultato atteso.

 

@exprof 

Ciao grazie per la risposta; ti auguro una buona giornata e buone vacanze



Risposta
SOS Matematica

4.6
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