[Risolto] Disequazione fratta

x^3·(3·x - 1)^2/(- x^2 - 11) < 0

soluzione: x ≠ 1/3 ∧ x > 0

Disequazione forte che equivale a:

x^3·(3·x - 1)^2/(x^2 + 11) > 0

Il segno dipende esclusivamente dal segno del numeratore in quanto il denominatore è sempre positivo in senso stretto. Quindi fai riferimento ai due fattori al numeratore:

----------------(0)++++++++++++++++>x

+++++++++++++++(1/3)+++++++++>x

----------------(0)++++(1/3)+++++++++>x

Per ogni funzione fratta f(x) = N(x)/D(x), definita per D(x) != 0, si ha
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0))
b) f(x) = 0 ≡ (D(x) != 0) & (N(x) = 0)
c) f(x) > 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) < 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) > 0))
Il caso in esame è un "a" con
* D(x) = - (x^2 + 1) < 0 ovunque
* N(x) = (x^3)*(3*x - 1)^2
pertanto
a) f(x) < 0 ≡ ((D(x) < 0) & (N(x) > 0)) oppure ((D(x) > 0) & (N(x) < 0)) ≡
≡ N(x) > 0 ≡
≡ ((x^3 < 0) & ((3*x - 1)^2 < 0)) oppure ((x^3 > 0) & ((3*x - 1)^2 > 0)) ≡
≡ ((x < 0) & (insieme vuoto)) oppure ((x > 0) & (x != 1/3)) ≡
≡ (x > 0) & (x != 1/3)
Verifica al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=solve%28x%5E3%29*%283*x-1%29%5E2%2F%28-x%5E2-1%29%3C0+for+x+real