[Risolto] Disequazione esponenziale n. 264

Semplificazione preliminare
* 264 ≡ (20 - 8^(2*√x + 1) - 64^(2*√x))/((2^x - 1)*(2^x - 4)) > 0 ≡
≡ ((20 - 8*64^√x - 4096^√x)*(2^x - 1)*(2^x - 4) > 0) & (2^x != 1) & (2^x != 4) ≡
≡ (- ((64^√x)^2 + 8*64^√x - 20)*(2^x - 1)*(2^x - 4) > 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ ((64^√x + 10)*(64^√x - 2)*(2^x - 1)*(2^x - 4) < 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ ((64^√x - 2)*(2^x - 1)*(2^x - 4) < 0) & (x != 0) & (x != 2)
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Note
1) (64^√x + 10) è positivo ovunque e non influisce sul segno.
2) Il prodotto degli altri tre fattori è negativo se nessuno è zero (quindi s'aggiunge la restrizione 64^√x != 2 ≡ x != 1/36) e i negativi sono in numero dispari (quindi o tutt'e tre o uno per volta, e l'unione di quattro espressioni si sostituisce all'unico prodotto).
3) Non ho la pazienza dattilografica di scrivere la mostruosa espressione che equivale allo sviluppo di quella semplificata: procedo con una risoluzione a pezzi e alla fine rimonto i pezzi semplificati.
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Risoluzione
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A) Condizioni restrittive
* (x != 0) & (x != 1/36) & (x != 2)
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B1) (64^√x < 2) & (2^x < 1) & (2^x < 4) ≡
≡ (0 <= x < 1/36) & (x < 0) & (x < 2) ≡
≡ (insieme vuoto)
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B2) (64^√x > 2) & (2^x > 1) & (2^x < 4) ≡
≡ (x > 1/36) & (x > 0) & (x < 2) ≡
≡ (1/36 < x < 2)
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B3) (64^√x > 2) & (2^x < 1) & (2^x > 4) ≡
≡ (x > 1/36) & (x < 0) & (x > 2) ≡
≡ (insieme vuoto)
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B4) (64^√x < 2) & (2^x > 1) & (2^x > 4) ≡
≡ (0 <= x < 1/36) & (x > 0) & (x > 2) ≡
≡ (insieme vuoto)
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C) Rimontaggio
* 264 ≡ (20 - 8^(2*√x + 1) - 64^(2*√x))/((2^x - 1)*(2^x - 4)) > 0 ≡
≡ ((64^√x - 2)*(2^x - 1)*(2^x - 4) < 0) & (x != 0) & (x != 2) ≡
≡ (B1 oppure B2 oppure B3 oppure B4) & A ≡
≡ B2 & A ≡
≡ (1/36 < x < 2) & (x != 0) & (x != 1/36) & (x != 2) ≡
≡ 1/36 < x < 2

@Beppe 

Ciao Beppe, 

8^[2*radice (x)]  = 2^[6* radice (x)] 

64^[2*radice (x)]  = 2^[12*radice (x)] 

Hai commesso lo stesso errore del precedente esercizio. 

radice (x) = x^(1/2)

Non puoi semplificare (1/2) dell'esponente di x con il 6 a numeratore. 

Quindi avresti dovuto scrivere:

2^[6*radice (x)]  = z

2^[12*radice (x)]  = z² 

Ecco una possibile soluzione 

Fammi sapere se è tutto chiaro. 

Buona giornata 

Ciao @beppe

(20 - 8^(2·√x + 1) - 64^(2·√x))/((2^x - 1)·(2^x - 4)) > 0

che equivale a:

(20 - 2^(6·√x + 3) - 2^(12·√x))/((2^x - 1)·(2^x - 4)) > 0

C.E.

{x ≥ 0

{(2^x - 1)·(2^x - 4) ≠ 0

Quindi: [x ≠ 2 ∧ x > 0]

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Poi, tenendo conto delle C.E., studiamo il segno del N(x) e del D(x)

Segno del N(x)

Poniamo:

2^(6·√x) = t------> 2^(12·√x) = t^2

- t^2 - 8·t + 20 > 0

(2 - t)·(t + 10) > 0

-10 < t < 2

che equivale a risolvere il sistema:

{2^(6·√x) < 2

{2^(6·√x) > -10 (sempre verificata!)

soluzione: 0 ≤ x < 1/36--------> 0< x < 1/36  

Quindi:

0++++++++(1/36)------------(2)---------------->x

Segno del D(x)

(w - 1)·(w - 4) > 0

(con 2^x = w)

w < 1 ∨ w > 4

2^x < 1 ∨ 2^x > 4

x < 0 ∨ x > 2

0-------------------------------(2)+++++++++++>x

Segno del rapporto N(x)/D(x)

0----------(1/36)++++++++++++(2)------------------>x

Quindi soluzione disequazione proposta:

1/36<x<2