Disequazione esponenziale n.262

@Beppe

Ciao Beppe, 

L'errore che hai commesso è nel primo passaggio. Hai scritto:

(1/2)^[radice (x² - 3)] = (1/2)^[(x² - 3)/2] 

NON È VERA L'UGUAGLIANZA. 

Per come l'hai scritta il testo doveva essere:

radice [(1/2)^(x² - 3)] 

Infatti:

radice [(1/2)^(x² - 3)] = (1/2)^[(x² - 3)/2]

Passando allo svolgimento dell'esercizio, poste le condizioni:

{x² - 3 >=0    esistenza della radice  

Quindi: x<= - radice (3) v x>= radice (3)

{x≠0              indice della radice 

Possiamo scrivere:

2^[ - radice (x² - 3)] * 2^ (2/x) >= 2^(0)

2/x >= radice (x² - 3)

Per valori negativi, minori di - radice (3) la disequazione non è mai verificata. 

Per x> radice (3) possiamo elevare entrambi i termini a quadrato. Sviluppando i conti otteniamo:

(x⁴ - 3*x² - 4)/x² <=0

Dal teorema degli zeri razionali di un polinomio si ricavano le radici del numeratore, x= +/- 2. Possiamo quindi riscrivere la precedente frazione come:

[(x+2)*(x-2)*(x²+1)] / (x²)  <= 0

Essendo:

x² + 1 > 0   per Vx€R

x² > 0 per Vx€R-{0}

possiamo dire che la disequazione è verificata se:

(x+2)*(x-2) <= 0

Quindi : - 2 <= x <=2

Intersecando la soluzione trovata con la condizione iniziale di esistenza della radice quadrata, si ottiene la soluzione:

S= { radice (3) <= x <= 2 } 

Ciao di nuovo.

EX.262

(1/2)^√(x^2 - 3)·4^(1/x) - 1 ≥ 0

2^(- √(x^2 - 3))·2^(2/x) - 1 ≥ 0

2^(- √(x^2 - 3))·2^(2/x) ≥ 2^0

L'esponente segue il verso della disequazione perché base 2>1

- √(x^2 - 3) + 2/x ≥ 0

√(x^2 - 3) ≤ 2/x

equivale ad un sistema di 3 disequazioni razionali intere:

{x^2 - 3 ≥ 0

{2/x ≥ 0

{x^2 - 3 ≤ (2/x)^2

le cui soluzioni sono:

{x ≤ - √3 ∨ x ≥ √3

{x > 0

{-2 ≤ x ≤ 2

Quindi soluzione finale:

[√3 ≤ x ≤ 2]

Io, come sempre, ti voglio rispondere e ti rispondo: prego, non c'è di che!
Però sarà una risposta assai parziale e limitata all'esercizio #262, che riesco a leggere ingrandendo la foto, ma non posso scusarti "per l'errato invio" perché non l'ho visto né posso darti "un aiuto anche per farti capire dove hai sbagliato" perché, contrariamente @StefanoPescetto (per lui, click in su!), i miei vecchi occhi non riescono a leggere le foto inclinate e sfocate.
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AL DUNQUE: esercizio #262
* ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0
ictu oculi, si tratta di riscrivere tutto in base due: 1/2 è 2^(- 1), 4 è 2^2, 1 è 2^0. Poi fare il prodotto fra due potenze della stessa base sommando gli esponenti, addizionare 2^0 membro a membro, passare da potenze a esponenti e procedere senza più esponenziali.
Ovviamente, stante la diseguaglianza d'ordine, s'impone il vincolo che entrambi i membri siano reali e cioè che i radicandi non siano negativi (x^2 >= 3) e che i denominatori non siano nulli (x != 0).
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* ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0 ≡
≡ (2^(- √(x^2 - 3)))*2^(2/x) - 2^0 >= 0 ≡
≡ 2^(2/x - √(x^2 - 3)) >= 2^0 ≡
≡ 2/x - √(x^2 - 3) >= 0
e con ciò ci s'è liberati dalle esponenziali. Resta la risoluzione del sistema
* (2/x - √(x^2 - 3) >= 0) & (x^2 >= 3) & (x != 0)
che, comportando quadrature, impone che i risultati finali soddisfacciano alla disequazione originale.
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NOTA: con la restrizione "x != 0" sia "1/x^2" che "x^2 + 1" non influiscono sul segno.
* (2/x - √(x^2 - 3) >= 0) & (x^2 >= 3) & (x != 0) ≡
≡ (x^2 - 3 <= (2/x)^2) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡
≡ (4/x^2 - x^2 + 3 >= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡
≡ (- (x + 2)*((x - 2)*(x^2 + 1))/x^2 >= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡
≡ ((x + 2)*(x - 2) <= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡
≡ (- 2 <= x <= 2) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡
≡ (- 2 <= x <= - √3) oppure (√3 <= x <= 2)
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VERIFICA anti spurie da quadratura
* √3 <= 9/5 <= 2
* ((1/2)^√((- 9/5)^2 - 3))*4^(1/(- 9/5)) - 1 ~= - 0.67 < 0 ≡ spuria da escludere
* ((1/2)^√((9/5)^2 - 3))*4^(1/(9/5)) - 1 ~= 0.538 > 0 ≡ L'INSIEME SOLUZIONE
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L'AFFERMAZIONE "ha come soluzione x = 2" E' ERRATA: sarebbe stata corretta nella forma "ha come soluzione intera x = 2"; ma, nell'implicita ipotesi che x sia il nome di una variabile reale, ciò che interessa è tutto l'insieme soluzione e non i suoi soli valori interi.