Chiedo scusa per l'errato invio di pochi minuti fa. Questi sono i 2 files di cui parlavo: in uno c'è il testo della disequazione che ha come soluzione x = 2 e nell'altro il mio tentativo di risolverla non andato a buon fine. Chiedo gentilmente un aiuto anche per farmi capire dove ho sbagliato. Grazie a tutti coloro che vorranno rispondermi
L'errore che hai commesso è nel primo passaggio. Hai scritto:
(1/2)^[radice (x² - 3)] = (1/2)^[(x² - 3)/2]
NON È VERA L'UGUAGLIANZA.
Per come l'hai scritta il testo doveva essere:
radice [(1/2)^(x² - 3)]
Infatti:
radice [(1/2)^(x² - 3)] = (1/2)^[(x² - 3)/2]
Passando allo svolgimento dell'esercizio, poste le condizioni:
{x² - 3 >=0 esistenza della radice
Quindi: x<= - radice (3) v x>= radice (3)
{x≠0 indice della radice
Possiamo scrivere:
2^[ - radice (x² - 3)] * 2^ (2/x) >= 2^(0)
2/x >= radice (x² - 3)
Per valori negativi, minori di - radice (3) la disequazione non è mai verificata.
Per x> radice (3) possiamo elevare entrambi i termini a quadrato. Sviluppando i conti otteniamo:
(x⁴ - 3*x² - 4)/x² <=0
Dal teorema degli zeri razionali di un polinomio si ricavano le radici del numeratore, x= +/- 2. Possiamo quindi riscrivere la precedente frazione come:
[(x+2)*(x-2)*(x²+1)] / (x²) <= 0
Essendo:
x² + 1 > 0 per Vx€R
x² > 0 per Vx€R-{0}
possiamo dire che la disequazione è verificata se:
(x+2)*(x-2) <= 0
Quindi : - 2 <= x <=2
Intersecando la soluzione trovata con la condizione iniziale di esistenza della radice quadrata, si ottiene la soluzione:
Ciao grazie per la tua risposta; ho compreso dove ho errato; però sul libro il risultato della disequazione, che ho dimenticato di esporre é x = 2. Non mi sembra quello da te trovato. Appena possibile, fammi sapere, se hai tempo e se vuoi, la motivazione di questi 2 risultati diversi. Ancora mille grazie e buon pomeriggio.
Il risultato che hai scritto è sbagliato. La soluzione corretta è quella radice (3) <= x <=2. Puoi ad esempio sostituire il valore x= 9/5, valore compreso tra radice (3) e 2 e verificare che la disequazione è verificata. Buona giornata
3
Ciao di nuovo.
EX.262
(1/2)^√(x^2 - 3)·4^(1/x) - 1 ≥ 0
2^(- √(x^2 - 3))·2^(2/x) - 1 ≥ 0
2^(- √(x^2 - 3))·2^(2/x) ≥ 2^0
L'esponente segue il verso della disequazione perché base 2>1
- √(x^2 - 3) + 2/x ≥ 0
√(x^2 - 3) ≤ 2/x
equivale ad un sistema di 3 disequazioni razionali intere:
Ciao grazie per la risposta e la chiarezza nell'esporla: ieri ho dimenticato di scrivere il risultato che sul libro é x = 2 . Corrisponde a quello che hai trovato tu ? Fammi sapere qualcosa per favore . Buona giornata.
Io, come sempre, ti voglio rispondere e ti rispondo: prego, non c'è di che! Però sarà una risposta assai parziale e limitata all'esercizio #262, che riesco a leggere ingrandendo la foto, ma non posso scusarti "per l'errato invio" perché non l'ho visto né posso darti "un aiuto anche per farti capire dove hai sbagliato" perché, contrariamente @StefanoPescetto (per lui, click in su!), i miei vecchi occhi non riescono a leggere le foto inclinate e sfocate. ------------------------------ AL DUNQUE: esercizio #262 * ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0 ictu oculi, si tratta di riscrivere tutto in base due: 1/2 è 2^(- 1), 4 è 2^2, 1 è 2^0. Poi fare il prodotto fra due potenze della stessa base sommando gli esponenti, addizionare 2^0 membro a membro, passare da potenze a esponenti e procedere senza più esponenziali. Ovviamente, stante la diseguaglianza d'ordine, s'impone il vincolo che entrambi i membri siano reali e cioè che i radicandi non siano negativi (x^2 >= 3) e che i denominatori non siano nulli (x != 0). --------------- * ((1/2)^√(x^2 - 3))*4^(1/x) - 1 >= 0 ≡ ≡ (2^(- √(x^2 - 3)))*2^(2/x) - 2^0 >= 0 ≡ ≡ 2^(2/x - √(x^2 - 3)) >= 2^0 ≡ ≡ 2/x - √(x^2 - 3) >= 0 e con ciò ci s'è liberati dalle esponenziali. Resta la risoluzione del sistema * (2/x - √(x^2 - 3) >= 0) & (x^2 >= 3) & (x != 0) che, comportando quadrature, impone che i risultati finali soddisfacciano alla disequazione originale. --------------- NOTA: con la restrizione "x != 0" sia "1/x^2" che "x^2 + 1" non influiscono sul segno. * (2/x - √(x^2 - 3) >= 0) & (x^2 >= 3) & (x != 0) ≡ ≡ (x^2 - 3 <= (2/x)^2) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡ ≡ (4/x^2 - x^2 + 3 >= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡ ≡ (- (x + 2)*((x - 2)*(x^2 + 1))/x^2 >= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡ ≡ ((x + 2)*(x - 2) <= 0) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡ ≡ (- 2 <= x <= 2) & ((x <= - √3) oppure (x >= √3)) ≡ ≡ (- 2 <= x <= - √3) oppure (√3 <= x <= 2) --------------- VERIFICA anti spurie da quadratura * √3 <= 9/5 <= 2 * ((1/2)^√((- 9/5)^2 - 3))*4^(1/(- 9/5)) - 1 ~= - 0.67 < 0 ≡ spuria da escludere * ((1/2)^√((9/5)^2 - 3))*4^(1/(9/5)) - 1 ~= 0.538 > 0 ≡ L'INSIEME SOLUZIONE --------------- L'AFFERMAZIONE "ha come soluzione x = 2" E' ERRATA: sarebbe stata corretta nella forma "ha come soluzione intera x = 2"; ma, nell'implicita ipotesi che x sia il nome di una variabile reale, ciò che interessa è tutto l'insieme soluzione e non i suoi soli valori interi.